איך להוכיח שמספר אי-רציונאלי ?

[Fractal]

איך להוכיח שמספר אי-רציונאלי ?

בכלל יש דרך להוכיח ? אם תוכלו להפנות אותי לספרים מאמרים או כל דבר אחר שישפוך אור על הנושא אודה לכם מאד.

 

[freedom rider]

אין דרך כללית שתעבוד בכל מקרה

כל מספר לגופו.

 

[freedom rider]

ויש גם הפניות...

כל מה שצריך זה לעשות חיפוש בגוגל על "proof irrational".

 

[Fractal]

קודם כל תודה...(ראה גם גוף ההודעה)

אבל עבור כל מספר ניתן להוכיח האם הוא רציונאלי או לא ?

 

[freedom rider]

לא

כלומר, יש מספרים שעדיין לא ידוע האם הם רציונליים (למשל e בחזקת פיי).

 

[ailag]

לרציונליים כן ../images/Emo13.gif

לאי רציונליים קשה - זה שלא מצאת שני שלמים שחלוקתם היא המספר שלך, לא אומר שהם לא קיימים.

 

[freedom rider]

???

זה לא כמו בבית המשפט, שכל מספר הוא החזקת רציונלי עד שיוכח כי הוא אי רציונלי. יש המון מספרים שלא ידוע האם הם רציונליים אם לאו - לא מצאו הצגה רציונלית שלהם, ולא הוכיחו שאין. באסה.

 

[ailag]

לא, לא,

כל מספר אינו ידוע עד שיוכח .. אבל קל מאוד להוכיח שמספר רציונלי - מוצאים את המחלקים.

 

[freedom rider]

ממש לא קל

איך תמצאי את המחלקים אם את לא יודעת שהמספר רציולי?

 

[Fingertip]

ובכן...

יש כל מיני דרכים. בדרך כלל מניחים שהוא רציונלי, ואז מגיעים לסתירה. למשל, מצורפת הוכחה לכך ששורש 2 הוא מספר אי רציונלי. ההוכחה מתבססת על כך שלכל מספר רציונלי חיובי יש הצגה יחידה כמנה של שני מספרים שלמים זרים זה לזה (ההצגה המצומצמת ביותר). ההוכחה, בקווים כלליים: מציגים את שורש 2 כמנה מצומצמת ביותר. מכך שריבוע המכנה מתחלק ב-2, נובע שהמכנה מתחלק ב-2. מכך מקבלים שריבוע המכנה מתחלק ב-2. כלומר, גם המונה וגם המכנה מתחלקים ב-2, ולכן הם לא זרים וסתירה. ההנחה ששורש 2 הוא מספר רציונלי גרמה לסתירה, ולכן היא לא נכונה, ושורש 2 הוא מספר אי רציונלי. מקווה שעזרתי, אהד.

 

[Fractal]

מה לגביי המבנה של המספר ?

זכור לי במעורפל (ואולי אני טועה) שלא ניתן למצא רצף מחזורי של מספרים - זכרתי נכון ?

 

[1ca1]

שברים מחזוריים

אם מספר נניח הוא שבר מחזורי למשל 1.3535... וכך הלאה, אז הוא רציונאלי

 

[ailag]

יש כזאת בדיחה

מה ההבדל בין נשים לשברים? שבר הוא רציונאלי כשיש לו מחזור.

 

[pallidfool]

לול!

 

[אוילר]

סתם הערה...

על אי בחזקת פאי אם אני זוכר נכון יודעים כבר שהוא אי רציונלי ואפילו טרנסנדנטי פאי בחזקת אי זה סיפור אחר לגמרי

 

[fibonachi]

מה זה טרנסנדנטי?

 

[freedom rider]

מה זה טרנסצנדנטי

מספר ממשי, שהוא שורש של פולינום שמקדמיו שלמים נקרא "מספר אלגברי". דוגמאות של מספרים אלגבריים הם 3, 1- והשורש של 2. מספרים שאינם אלגבריים נקראים "טרנסצנדנטיים". במלים אחרות, מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו שורש של אף פולינום שמקדמיו שלמים. קנטור הוכיח כי המספרים האלגבריים ניתנים למניה, וכי המספרים הממשיים אינם ניתנים למניה. מכאן הסיק כי אכן קיימים מספרים טרנסצנדנטיים, וכי מספרם אינו ניתן למניה - כלומר יש "הרבה מאוד" מספרים כאלה. המספר הטרנסצנדנטי הידוע מכולם הוא פיי.

 

[1ca1]

כיצד ניתן להוכיח טרנסצנדנטיות?

הרי יש אינסוף פולינומים אפשרים מn מעלות, ולכל פולינום עד n פתרונות שונים שחלקם יכולים להיות ממשיים... לכן כיצד ניתן למשל להוכיח כי pi הוא טרנסצנדנטי?

 

[אוילר]

זה כמו שתאמר:

זה כמו שתאמר כיצד אפשר להוכיח שמספר הוא אי רציונאלי, הרי יש אינסוף מספרים רציונאליים שצריך לבדוק הבדיקה האם מספר טרנסנדטני היא בד"כ קשה יותר מהבדיקה אם הוא אי רציונאלי ואם ההוכחה שפאי הוא אי רציונאלי היא לא פשוטה אתה יכול לתאר לעצמך מה המצב כאן.. הוכחות כאלו בדר"כ דורשות שימוש בכלים של הרחבות של שדות