אסימפטוטות אופקיות

[MajorGad]

אסימפטוטות אופקיות

בבגרות (5 יח"ל, תוכנית חדשה), נתקלנו בחקירת פונקציה שכללה 2 אסימפטוטות אופקיות, ועכשיו אני שואל, האם ישנה פונקציה שיש לה יותר מ-2 אסימפטוטות אופקיות? תוכלו לתת גם דוגמא לפונקציה בעלת אסימפטוטה משופעת או אסימפטוטה פרבולית?

 

[sherban]

arctan

יש לה אינסוף אסימפטוטות אופקיות

 

[רון חשבון]

לא ממש...

אמנם נכון שלגרף של y=arctanx יש אינסוף אסימפטוטות אופקיות, אך זו איננה פונקציה (בפונקציה לכל x מתאים רק y אחד), ואילו ידידנו MajorGad ביקש דוגמה לפונקציה... בוא נבדוק רגע את השאלה שלך - זו שאלה די מעניינת ! מהי בכלל אסימפטוטה אופקית ? זהו בסך הכל ישר, שהפונקציה שואפת אליו או בפלוס אינסוף או במינוס אינסוף (או בשניהם). אין עוד מקומות חוץ משני אלה. לפעמים, השאיפה בפלוס אינסוף היא למספר אחר מאשר השאיפה במינוס אינסוף (כמו בתרגיל שהיה בבגרות) ואז יש שתי אסימפטוטות שונות. אבל אם תהיינה שלוש אסימפטוטות (או יותר), היכן בדיוק עוד יכולה הפונקציה שלנו לשאוף אליהן ? פלוס אינסוף כבר "תפוס" , מינוס אינסוף גם "תפוס"... לכן לא יתכן מצב של יותר משתי אסימפטוטות אופקיות. אלא אם כן כמובן הגרף איננו פונקציה, כמו בדוגמת arctan , ואז יש "גרף מעל גרף", ומצב כזה מתאפשר. לשאלתך השנייה (אסימפטוטות משופעות) יש הרבה מאוד דוגמאות, למשל : (y=(x-3)²/(x-5 נסה לחקור אותה, זו חקירה פשוטה. כבדיקה האסימפטוטות הן x=5 , y=x-1

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[רק עכשיו נכנסתי]

אז..

הarcsin וarccos הם לא פונקציות?

 

[MajorGad]

היא פונקציה עבור

איקס בין אחד למינוס אחד כולל קצוות

 

[רון חשבון]

בוא נדייק... ../images/Emo132.gif

כפי שהסברתי בתשובה שמתחתי, היא איננה פונקציה בתחום זה, כי לכל x מתאימים אינסוף ערכי y . הניסוח המדוייק יהיה כזה : (y=arcsin(x תהיה פונקציה אם התחום שלה הוא הקטע הסגור [1,1-] והטווח שלה הוא הקטע הסגור [π,½π½-] .

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[רון חשבון]

נכון ! ../images/Emo45.gif

(y=arcsin(x איננה "פונקציה". זאת משום שבהגדרת פונקציה נדרש, שלכל x יהיה רק y אחד. נתבונן למשל ב (arcsin(1 . כלומר, מיהו המספר, שהסינוס שלו שווה ל 1 ? אחת התשובות היא 90 מעלות (או π½ ). אבל גם 450 מעלות עונה על הדרישה (כי גם : sin450 = 1 ) וגם 810 מעלות, ולמעשה כל תוספת של 360 מעלות ! מכאן שיש יותר מ y אחד (יש אפילו אינסוף כאלה) עבור x=1 , וזו איננה פונקציה.

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[MajorGad]

אני תלמיד תיכון ולכן לא למדתי

משופעות ובקשר לאסימפטוטות פרבוליות?

 

[MajorGad]

ועוד שאלה בקשר לאסימפטוטות

המורה שלי פעם הסביר לנו שאם לגרף של פונקציה מסוימת יש אסימפטוטה אופקית בy=a (כאשר איי הוא מספר קבוע כלשהו) אז לגרף של הנגזרת שלה תהיה אסימפטוטה משופעת שמשוואתה (y=ax) יכול להיות שלא הקשבתי טוב, אבל האם זה נכון? ולמה זה ככה?

 

[sherban]

depends on your definition

of a function. if f:R->R then you´re right. didn´t mean to confuse anyone.

 

[MajorGad]

רון אתה מוכן לענות על השאלה

השנייה שהצגתי בקשר לאסימפטוטות

 

[רון חשבון]

תשובה

זכרת טוב, אבל בדיוק את ההפך... המשפט אומר (וגם זה רק בתנאים מסויימים ולא תמיד) שאם לפונקציה יש אסימפטוטה משופעת, שהשיפוע שלה a , הרי שלנגזרת של הפונקציה יש אסימפטוטה אופקית y=a . כדי להוכיח את זה צריך ידע טוב בגבולות, ואני לא זוכר אם אתה למדת את זה. אבל אני אנסה להראות לך כיוון (שוב – זו לא הוכחה כללית) : את השיפוע של האסימפטוטה האופקית מוצאים באמצעות חישוב הגבול (כאשר ∞→x ) של הפונקציה חלקי x . כשמדובר בפונקציות עם פולינומים (ביטויים עם חזקות מספריות), הרי שהמשמעות היא שבגבול הנ"ל חזקת המונה (הכוונה לחזקה הגבוהה ביותר) שווה לחזקת המכנה, ואז הגבול שווה ליחס בין המקדמים, וזה גם השיפוע. מכאן שבפונקציה המקורית חזקת המונה היתה גדולה ב 1 מחזקת המכנה. אבל גם בפונקציה הנגזרת נקבל ביטוי שבו חזקת המונה שווה לחזקת המכנה, שכן כשגוזרים פונקציה עם פולינומים, שבה חזקת המונה גדולה באחד מחזקת המכנה, החזקות (הגבוהות) משתוות זו לזו ! נסה להוכיח את הטענה הזו באופן כללי, זו הוכחה קלה ומאד מעניינת ! מכאן שנקבל בנגזרת אותו גבול ואותה תוצאה a , רק שעכשו זהו גבול של הפונקציה עצמה כאשר ∞→x , ולכן זוהי אסימפטוטה אופקית y=a .

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±