אפשר עזרה? שתי שאלות במכניקה (קינמטיקה)

[איתן ויעל]

אפשר עזרה? שתי שאלות במכניקה (קינמטיקה)

1. השלכה של חפץ ממגדל. אדם משליך חפץ ממגדל שגובהו h, בזווית a במהירות V0 ונוחת במרחק x
מה צריכה להיות a כך שהמרחק האופקי x יהיה מקסימלי?
2. ארבעה כלבים עומדים בארבע קודקודי ריבוע ומתחילים לנוע כל אחד לכיוון הכלב שבקודקוד הסמוך לו (נניח בכיוון השעון)
איך מתארים את משוואת התנועה? (מספיק של כלב אחד, כמובן...)

ממש נשמח לעזרה!!

 

[סוס כסוף]

השאלה השנייה מוגדרת בספרות "רדיפת כלב" ואפשר לקרוא עליה ברשת

אבל המשוואות הן מאוד מסובכות ואני תוהה אם אכן לדבר הזה התכוונתם?

לגבי השאלה השנייה: נבחר מערכת צירים עם ראשית בתחתית המגדל, ציר Y כלפי מעלה וציר X בכיוון הזריקה. הטיפול בכל ציר נעשה בלי תלות בציר השני, חוץ מאשר העובדה שכאשר החפץ מגיע לקרקע (בציר האנכי), גם המעוף האופקי נפסק.
נסמן את זמן המעוף ב T.

בציר האנכי

h +Vosinα*T -0.5gT² = 0

בציר האופקי אין תאוצה ואין איקס אפס, לכן
X = Vocosα*T ---> T = X/(Vocosα)

נציב בראשונה
h + Vosinα*[X/(Vocosα)] - 0.5g[X/(Vocosα)]² = 0
h + Xtanα - X²*0.5g/Vo²*(1/cos²α) = 0
h + X*tanα - X²*[0.5g/Vo²*(1+tan²α)] = 0
אנחנו שואלים איזו אלפא תביא את איקס למקסימום? זוהי פרבולה בוכה (כלומר עם מקסימום) כאשר האיקס הוא בעצם ה וואי והאלפא הוא בעצם האיקס המקובלים במשוואה הריבועית
נסמן

A = -0.5g/Vo²(1+tan²α)
B = tanα
C = h
כמו שאנו זוכרים מוויאטה וכו', המקסימום שזה קודקוד הפרבולה שווה ל
-(B²-4AC)/(4A = -B²/(4A) + C
אם נציב את המשתנים שלנו נקבל

X(max) = (0.5Vo²/g)*[tan²α/(1+tan²α)] + h
אפשר להוכיח שהביטוי בסוגרים המרובעים שווה ל
0.5(1 - cos2α)
בגלל שכל שאר הנתונים הם קבועים מספריים, האיקס המקסימלי יתקבל כאשר מה שכתבתי בשורה הקודמת יהיה מקסימלי. זה יקרה כאשר הקוסינוס יהיה שווה לאפס כי אז מחסירים הכי מעט

cos2α = 0 ----> 2α = 90° ----> α - 45°

אז כדי לקבל טווח אופקי מקסימלי צריך לזרוק את החפץ בזווית של ארבעים וחמש מעלות כלפי מעלה. במקרה כזה, הטווח המקסימלי יהיה

X(max) = 0.25Vo²/g + h

... ובא לציון גואל

 

[איתן ויעל]

תודה רבה!!!