בהמשך להודעה למטה (שלא רוצה לקפוץ)

[Frutapao]

בהמשך להודעה למטה (שלא רוצה לקפוץ)

הנה צילום של כל העבודות מהחוליות האלו. תודה על העזרה

מימין לשמאל: 3 חוליות, 6 חוליות, 6 חוליות (אותן חוליון הרכבה שונה), 12 חוליות, 30 חוליות.

 

[Frutapao]

ועוד תמונה..

 

[Frutapao]

והנה מיקוד על הדגם בעל 30 החוליות

סליחה על האיכות.. שימו לב שלפינות שלו יש 5 קווים (ול-12 יש 4 קווים ול-6 יש 3 קווים). וכמו שאמרתי, יש חורים די גדולים (פחות מההרכבה הקודמת - כי מצאתי דרך נוחה להרכבה). וככה זה גם בספר של טומוקו פוסי. תודה רבה! תהנו מהתמונות ואולי תכינו גם אתם ותראו איך יצא

 

[gvish]

עשית בינתיים ארבעון, תמניון ועשרימון

סימנתי על התמונה שלך את המקצועות הנראים של העשרימון (איקוסהדרון) שהרכבת. עכשיו אתה יכול לנסות ליצור ע"י 30 יחידות גם תריסרון (דודקהדרון). במתמטית: הנח על כל מקצוע של התריסרון יחידה כפי שעשית על מקצועות העשרימון ותקבל דגם מרשים. בעברית: אתה צריך שכל שפיץ יהיה מורכב מ-5 חוליות ואתה חייב לדאוג שבכל ההתחברויות בין השפיצים יהיו 3 קוים.

 

[Frutapao]

איך עושים דבר כזה?!

 

[gvish]

שרטוט חלקי של החיבורים

אם תחבר לפי השרטוט צריך להתקבל פאון בעל 12 פאות. כל פאה בנוייה ממחומש. (צריך 30 יחידות בשביל התריסרון) באותה צורה אפשר ליצור "קוביה" ע"י יצירת ריבועים במקום מחומשים. (12 יחידות) בהצלחה

 

[gvish]

ככה זה נראה

 

[Frutapao]

מגניב! וכמה צריך בשביל 5 עם 4 קווים?

או 5 עם 5 קווים? וגם ל-4 עם 3 קווים ול-4 קווים ול-5 קווים?

 

[gvish]

איזה פאונים ניתן ליצור

יש רשימה של 5 פאונים משוכללים בדיוק. ואלו הם: 1. ארבעון - 4 משולשים, 3 בכל קודקוד. (6 יחידות) 2. קוביה - 6 ריבועים, 3 בכל קודקוד. (12 יחידות) 3. תמניון - 8 משולשים, 4 בכל קודקוד. (12 יחידות) 4. תריסרון - 12 מחומשים, 3 בכל קודקוד (30 יחידות) 5. עשרימון - 20 משולשים, 5 בכל קודקוד (30 יחידות) גופים חצי משוכללים יש אינסוף - אותם קשה יותר להרכיב כיוון שהם לא סימטריים לחלוטין לדוגמא: תמניון קובי - 8 משולשים + 6 ריבועים, 2 משולשים ו-2 ריבועים בכל קודקוד. (24 יחידות) תריסרון עשרימוני - 12 מחומשים + 20 משולשים, 2 משולשים ו-2 מחומשים בכל קודקוד. (60 יחידות) עשרימון קטום (כדורגל) - 12 מחומשים + 20 משושים, מחומש ו-2 משושים בכל קודקוד. (90 יחידות)

 

[Frutapao]

וואוווווווו!! כמה אפשרויות!

זה פשוט לא להאמין... ושוב לשאלתי - האם אפשר ליצור עוד צורות, שהן כן סימטריות, מהדגמים שאמרתי? עד עכשיו יצרתי: משולשים עם 3, 4 ו-5 קווים. ודאי אפשר גם 4(מרובע) עם 3(ריבוע, כמו שאמרת), 4 ו-5 קווים (ללא שילוב משולשים כלל) וגם 5(מחומש) עם 3, 4 ו-5 קווים (ואולי אפילו יותר?).

 

[gvish]

יש בדיוק 5 פאונים משוכללים

אפשר ליצור 3 דגמים ממשולשים - כאלו שבהם נפגשים 3 קווים, 4 קווים או 5 קווים. אפשר ליצור דגם אחד ממרובעים - בדגם הזה נפגשים 3 קווים. אפשר ליצור דגם אחד ממחומשים - בדגם הזה נפגשים 3 קווים. בסוף הספר Unit Origami אתה יכול לראות את כל הפאונים המשוכללים + רבים מהפאונים החצי משוכללים. כל פאון כזה ניתן להרכבה ע"י היחידה הזו.

 

[bshuval]

לא מדויק

יש 9 פאונים משוכללים. מתוכם 5 קמורים (הפאונים הפלטוניים) ועוד 4 שאינם קמורים (שלושת הכיכובים של התריסריון וכן התמניון המכוכב = סטלה אוקטנגולה = כוכב קפלר = מרכבה). 4 פאונים אלה מאד יפים, אם כי לא מתאימים להכנב מהיחידה שאתה מתעסק עימה. פאון משוכלל שאינו קמור הינו פאון שפאותיו הינן מצולעים משוכללים שאינם קמורים (כוכבים). בנוסף, יש פאונים רבים שכל פאותיהם מצולעים זהים (חלקם אף משוכללים). אחד החביבים עלי הינו התריסריון המעויני (יש שניים כאלה! התריסריון המעוייני מהטיפוס הראשון יותר מוכר -- זהו תריסריון שכל פאותיו מעויינים בעלי יחס הכסף (1 לשורש 2) בין אלכסוניהם. הטיפוס השני, שפאותיו מעוייני זהב (יחס הזהב בין פאותיו), מוכר פחות). התריסריון המעונייני מהסוג הראשון קשור באופן הדוק לפאונים המשוכללים הקמורים. עוד פאון מעניין הוא התריסריון הבלתי קמור. זהו הפאון המתקבל ב"חורים" במרחב שנוצרים בעת נסיון לרצף את המרחב בתריסריונים משוכללים. כמובן ישנה משפחה רחבה ביותר של פאונים.... ויש חוליות אוריגאמי רבות מאד ליצירת רבים מהם (אך לא כולם, כמובן. לדוגמה, ישנם 59 כיכובים של העשרימון, אך רק למעט מהם יש חוליות קיימות)

 

[gvish]

אכן התייחסתי רק לצורות האפלטוניות

ואם כבר מזכירים את הפאונים ממעויינים, אז הנה התריסרון המעוייני בויקיפדיה האנגלית. פאון מאד יפה שניתן להרכבה מהיחידה המדוברת.

 

[bshuval]

הצורה אליה קישרת היא השלושימון המעוייני

(אם יש כזאת מילה בעברית, שלושימון...) התריסריון המעוייני (rhombic dodecahedron) הוא בעל שתיים-עשרה פאות ולא שלושים. (גם השלושימון, הטריאקונטוהדרון, מאד יפה)

 

[Frutapao]

gvish, תודה על הנתונים..

וואוו לא חשבתי שיש בארץ כאלו גאוני מתמטיקה שמתעסקים באוריגמי... אתם מדברים בסינית בערך... וואוו bishuval ההודעה שהנושא שלה "לא מדויק" פשוט... אין לי איך להגדיר את זה.. סינית...... יאללה לילה טוב כבר רבע לשתיים..

 

[bshuval]

זה מזכיר לי...

לפני זמן מה, רכשתי ספר במתמטיקה על גופים תלת מימדיים משום שרציתי ללמוד מעט יותר על הפאונים השונים. הספר נקרא regular polytopes ונכתב על ידי הגיאומטריקן המפורסם coxeter. הספר, מסתבר, מאד מאד מתקדם. הספר כל כך מסובך שאפילו העמודים הראשונים היו בלתי מובנים בעליל עבורי. הספר הוא ספר טוב, אחד הטובים בנושא, אך קשה מאד.

 

[gvish]

הזכרת לי ספר אחר

לפני כמה חודשים קיבלתי מאחי ספר על אנליזה מתמטית. בערך בעמוד השלישי התפקעתי מצחוק, ומהמבט של אישתי הבנתי שספר על אנליזה מתמטית לא אמור להיות מצחיק. אבל כשכתוב "מכאן ברור ש.." איך אפשר שלא להקרע מצחוק? אגב, הגעתי כבר לעמוד 9.

 

[gvish]

עוד כמה קישורים

אנימציה של התריסרון המעוייני פאונים קטלוניים - קבוצת פאונים הכוללת את הפאונים המעויניים שהזכרת

 

[Frutapao]

הכוונה לזה? (מה שצירפתי?)

מה אפשר לעשות עם התרשימים הללו

 

[gvish]

בדיוק זה.

הטור הימני בטבלה (Edges) אומר כמה מקצועות יש לפאון. וזה מספר היחידות שאתה צריך כדי ליצור את הפאון ע"י היחידה לעיל. איך משתמשים בנתונים האלה? לדוגמא: כדי ליצור את פאון 11, יש להשתמש ב-24 יחידות. מהציור אפשר לראות שבכל קודקוד של הפאון נפגשים 4 מקצועות, לכן יש לחבר בכל פינה 4 יחידות כאלו ביחד. כיוון שהפאות הן - משולשים וריבועים יש ליצור מהיחידות האלו משולשים וריבועים

בהצלחה