בעיה באלקטרוסטטיקה

[סוס כסוף]

בעיה באלקטרוסטטיקה

שלום
השאלה הרצ"ב (מופיעה בספר של יורם אשל) קצת מבלבלת אותי. אין בעיה לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין פני הכדורים כאשר הם רחוקים זה מזה.
אבל כן יש לי בעיה עם המקרה שבו הכדורים קרובים זה לזה. במקרה האחרון, הפוטנציאל על פני כדור ב' שווה לפוטנציאל שנגרם ע"י המטען של כדור ב' בתוספת הפוטנציאל שנגרם ע"י המטען של כדור א'.
הבעיה שלי היא שהפוטנציאל שנגרם ע"י כדור א' הוא לא קבוע, כי המרחק בין מרכז כדור א' לפני כדור ב' איננו קובע ותלוי בנקודה על פני ב' שבה מודדים את הפוטנציאל .
אז או שעושים ממוצע לפי המרחק, או שמודדים בנקודה מסוימת. אבל איזו נקודה?
זה גם לא הגיוני שהפוטנציאל שנגרם ע"י א' יהיה משתנה, כי על פני מוליך, הפוטנציאל צריך להיות שווה - אחרת האלקטרונים ינדדו .
מה אתם אומרים?
תודה

 

[Schrodingers Dog]

לא מסובך

הפוטנציאל הוא אינטגרל קוי על השדה. צריך לקחת אינטגרל ממרכז כדור אחד למרכז כדור שני. בתוך הכדורים השדה הוא 0. מחוץ לכדורים השדה של כל כדור הוא כמו שדה של מטען נקודתי. יש שתי תרומות לאינטגרל. אחרי אינטגרציה מקבלים 4 איברים. בגבול שהמרחק ביניהם שואף לאינסוף 2 איברים נופלים ומקבלים את התוצאה שאתה מכיר אבל באופן כללי יש 4 איברים.

 

[סוס כסוף]

לא זאת הייתה השאלה שלי. אנסה להסביר שוב

נניח שאני רוצה לחשב את הפוטנציאל על פני כדור א'. פוטנציאל זה שווה לפוטנציאל שנגרם ע"י המטען של א' פלוס הפוטנציאל שנגרם ע:י המטען של כדור ב'.
הפוטנציאל שנגרם ע"י א' הוא אחיד כי המרחק מן המרכז לפני הכדור הוא קבוע.
לעומת זאת, המרחק של המרכז של ב' אל נקודה כלשהי על פני כדור א' איננו קבוע.
אז יש שתי שאלות:
- איך לחשב את הפוטנציאל שנגרם ע"י ב' על פני כדור א' ?
- איך בכלל ייתכן שהפוטנציאל הזה ישתנה? כי אם הוא משתנה, אזי הפוטנציאל הכולל על פני כדור א' משתנה והוא לא אחיד. אבל אם הפוטנציאל הוא לא אחיד, האלקטרונים יזרמו עקב הפרש הפוטנציאלים וזה סותר את האלקטרוסטטיקה.

 

[Schrodingers Dog]

הסבר

השדה החשמלי של כדור מוליך הוא 0 בתוכו ובחוץ הוא שדה חשמלי של מטען נקודתי.

 

[סוס כסוף]

אני אסביר שוב מה אני שואל - ראה שרטוט מצורף.

הפוטנציאל בנקודה A
U = KQ2/R2 + KQ1/r1
הפוטנציאל בנקודה B
U = kQ2/R2 + KQ1/r2

מכיוון ש r1 שונה מ r2 הפוטנציאל לא יהיה אחיד ולמעשה משתנה באופן רציף לאורך ההיקף של המעגל 2.

השאלה:
- איך לחשב אותו כי אינטגרל כזה הוא לא מקובל ברמת התיכון.
- איך בכלל ייתכן שהפוטנציאל על פני מעגל 2 לא יהיה אחיד? כי אז יש שדה משיקי שיגרום לזרם על פני הכדור.

 

[guprnds]

אני מצפה שיהיה קיטוב על פני הכדורים

לכן לדעתי השימוש בפוטנציאל של מטען נקודתי אינו נכון. השדה על פני קליפת הכדורים אכן צריך להתאפס, והפוטנציאל עליהם אכן קבוע והתפלגות המטען על פני הכדורים נראית לי לגמרי לא טריוויאלית...

כשהכדורים רחוקים מאוד, אפשר לקחת את קירוב המטען הנקודתי.

 

[סוס כסוף]

תודה. השאלה איך פותרים, לאור העובדה שזאת שאלה ברמת תיגון?

 

[guprnds]

התכוונת שזו שאלה ברמת טיגון...

אנו מחפשים קונפיגורצית מטענים שתייצר שני משטחים כדוריים שווי פוטנציאל בעלי רדיוסים שונים. נראה לי לגמרי לא טריוויאלי, בטח לא ברמת תיכון. אפשר אולי לבנות את האנרגיה של המערכת ולחפש מינימום כפונקציה של הזוויות ההיקפיות של פרישת המטענים בכל כדור.

 

[Schrodingers Dog]

אתם מסתבכים

ראשית זה אלקטרוסטטיקה. שנית הכדורים לא מחוברים והם לא שווי פוטנציאל. שלישית - התפלגות המטען לא רלוונטית לשאלה.

 

[guprnds]

שני כדורים שווי פוטנציאל

הכוונה היא שבמרחב יש שני כדורים שהפוטנציאל על כל אחד מהם בנפרד הוא שווה. לא שלשני הכדורים יש את אותו הפוטנציאל. איך יכול להיות שהתפלגות המטען לא רלוונטית?

 

[guprnds]

תוכל אולי לנסות להיעזר בזה:

https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_image_charges#Reflection_in_a_conducting_sphere

 

[Schrodingers Dog]

הסבר

אין משמעות למושג פוטנציאל בנקודה. פוטנציאל נמדד בין שתי נקודות במרחב והאופן לחשב אותו הוא אינטרגל מסלולי בין שתי הנקודות כאשר המסלול לא משנה (באלקטרוסטטיקה).
&nbsp
מכיוון שהתחלת עם משוואות לא נכונות אז אין משמעות להמשך.
&nbsp
אם מתחילים מההגדרת הפוטנציאל התשובה מורכבת מחישוב אינטרגל פשוט ולכן השאלה מתאימה לרמת תיכון.
&nbsp
הדרך לסבך משמעותית את השאלה היא לשאול מהו כוח הדחייה בין שני הכדורים. זה מוביל לסיבוך מכיוון שכעת יש לבצע אינטגרציה על התפלגות המטען המשטחית בכל כדור ולהכפיל בשדה. השדה הוא פשוט אבל התפלגות המטען היא בעיה לא טריוויאלית - לפחות לתלמידי תיכון.

 

[סוס כסוף]

בוא נהיה מעשיים: איך אתה מחשב את הפרש הפוטנציאלים כאשר

הכדורים קרובים?

 

[Schrodingers Dog]

אז אסביר שוב

עלינו לבחור 2 נקודות, אחת בכל כדור. נבחר את מרכזיהם. למה? כי זה לא משנה איפה בתוך הכדור - בכדור מוליך פוטנציאל קבוע וזה יעזור לנו בחישוב. נחבר מסלול בין הנקודות - קו ישר המחבר את המרכזים. למה? כי זה לא משנה וזה יעזור לנו בחישוב.
&nbsp
יש לחשב אינטגרל מסלולי לאורך הקו אך מכיוון שהשדות החשמליים בבעיה עם לאורך הקו שנבחר, האינטגרל הופך להיות אינטגרל רגיל ממרכז הכדור הראשון עד מרכז הכדור השני.
&nbsp
השדות החשמליים בתוך הכדורים הוא 0. השדות החשמליים מחוץ לכדורים הוא סכום השדות (על פי עקרון הסופרפוזיציה) של כדורים מוליכים עם מטען - שדה של מטען נקודתי.
&nbsp
אז יש שני איברים באינטגרציה ולאחר האינטגרל של 4 איברים. ב2 מהם יש תלות של המרחק בין הכדורים במכנה. כאשר המרחק ביניהם גדול או שואף לאינסוף האיברים האלה נופלים ונשארים עם 2 איברים שהם הפוטנציאל ״העצמי״ של כל כדור בנפרד.ֿ החישוב עובד לכל מרחק ומרחק גדול זה מקרה פרטי.
&nbsp
מקווה שעזרתי.

 

[guprnds]

אני חושש שבעניין הזה אתה טועה

עקב הקיטוב אין כאן קונפיגורצית מטען רדיאלית וממילא השדות אינן של מטען נקודתי. דווקא הקישור לויקיפדיה שהבאתי נותן כיוון באמצעות מטעני שיקוף.

 

[סוס כסוף]

גם לי נראה שלא זו הדרך.

 

[Schrodingers Dog]

תוצאות

אז התעמקתי עוד בעניין, חיפשתי בעיות דומות. מצאתי את אותה בעיה בספר אלקטרודינמיקה של ג׳קסון (מהדורה שלישית), בעיה 2.6 שמתחילה אותו דבר אבל שם גם מבקשים פוטנציאל בכל המרחב ואת הכח שהכדורים מפעילים אחד על השני. מבקשים להשתמש בשיטת הדמויות, נותנים משוואה רקורסיבית שנותנת את המיקום והמטען של המטענים המדומים ומציעים לפתור בעזרת תוכנה נומרית.
&nbsp
כתבתי תוכנה בפייתון שעושה את זה בעזרת המשוואות שנתנו. עבור מרחק גדול אני מקבל התאמה לנוסחה שמקבלים אם הולכים בדרך שהצעתי. עבור מרחקים הולכים וקטנים אז יש הבדל בתוצאות - בהתחלה רק בספרה שלישית אחרי הנקודה אבל במרחקים קטנים מאד המספרים שונים. בכל המקרים שבדקתי התוצאה שונה מסכום נאיבי של הפוטנציאלים של הכדורים.
&nbsp
אני יכול להעלות את הסקריפט למי שזה מעניין אותו. לא בטוח מה חשבו שנתנו את השאלה הזאת לתלמידי תיכון, לא יודע איך ציפו מהם לפתור את זה.

 

[guprnds]

סחטיין על המאמץ

 

[Schrodingers Dog]

קוד

https://www.dropbox.com/s/jdzjdygmmolazeb/Spheres.ipynb?dl=0

 

[סוס כסוף]

תודה רבה !! אני עוצר את המחקר שלי כאן...