בעיה שהיא לא רק מתמטית...

[ארנון הרשקוביץ]

בעיה שהיא לא רק מתמטית...

היי

איך פותרים את הבעיה הזו? בשנת 1300 כללה האוכלוסיה היהודית בעולם כ - 450,000 איש. (לפי "אנציקלופדיה יודאיקה"). מאז, בממוצע של 25 שנה לדור, חלפו 28 דורות. בואו נניח שהיו נישואים בתוך המשפחה, ולפיכך בממוצע לכל אחד יש 3 סבים בכל דור (ולא ארבעה). גם לפי הנחה זו, היו צריכים להיות לי בשנת 1300 יותר מ - 4,000,000 "סבים קדמונים". איך שני הדברים מסתדרים יחד

ארנון

 

[masorti]

ההסבר פשוט מאוד..

אמנם לך אישית יש 4 מיליון אבות קדמונים בשנת 1300, אך אותם אבות קדמונים משותפים גם לעוד אלפי יהודים אחרים במהלך הדורות. פשוט שכחת שבכל דור היו במשפחה ממוצעת כמה אחים ואחיות, ולכולם היתה אותה שושלת של אבות קדמונים. בצורה כזו "הספיקו" 450,000 היהודים של שנת 1300 כדי ליצור 4 מיליון אבות קדמונים לכל יהודי בימינו. כדי להדגים, בוא ונניח שבמשפחה יהודית ממוצעת יש 3 ילדים. (ובוא נזניח נישואים של קרובי משפחה כדי להקל את החישוב). במקרה כזה, ברור שכל זוג הורים "תורם" 3 ילדים לדור הבא. לכן, אם בדור נתון יש 3N יהודים... בדור הקודם לו היו 2N יהודים (שהתחלקו ל-N זוגות הורים). מסקנה: לכל יהודי יש בממוצע 2/3 הורה (שהרי ל-3N יהודים יש 2N הורים). ואם נלך אחורה.. לכל יהודי יש בממוצע ארבע תשיעיות סבא/סבתא, וכך הלאה. כעת בוא ונחשב את גודל המשפחה היהודית הממוצע בהנחה שאין נישואי קרובים. נניח שבמשפחה יהודית ממוצעת יש K ילדים. היות וכל משפחה מכילה 2 הורים, הרי שמספר היהודים גדל מדור לדור פי K/2. בהנחה שבשנת 1300 היו 450,000 יהודים, היום יש 13 מליון יהודים, ועברו 28 דורות... נקבל את המשוואה: (13 מיליון) = (K/2 בחזקת 28) כפול (450 אלף) אם תפתור את המשוואה, תקבל כמעט במדויק ש- K = 2.25 . כלומר: בכל משפחה יהודית היו 2.25 ילדים בממוצע. --- בתנאים שלך (שלכל ילד יש 3 סבים/סבתות בממוצע במקום 4), המשוואה תחושב בקפיצות של 2 דורות ובמקום K/4 נציב K/3 (כי כל שלישיית סבים/סבתות תורמת K נכדים). לכן, המשוואה תהיה: (13 מיליון) = (K/3 בחזקת 14) כפול (450 אלף) והתוצאה המתקבלת: K = 3.8 . כלומר: במשפחה יהודית ממוצעת היו 3.8 ילדים. --- זהו. מקווה שלא טעיתי במספרים, ושהסברתי את הסתירה לשביעות רצונך.

 

[רותי רמר]

העיקר מובן, נקווה../images/Emo70.gif

בתור בוגרת מגמה ספרותית בעבר, הבנתי את ההתחלה ואת הסוף. בקשר לנוסחאות, אני מאמינה לכם, המתמטיקאים, שתמצאו את התשובה.

 

[ארנון הרשקוביץ]

האמת../images/Emo35.gif לא בטוח שהבנתי ../images/Emo2.gif

ברור לי שאותם 4 מיליון אבות קדמונים שלי משותפים לעוד אלפי יהודים אחרים, אבל למה זה בכלל מעניין אותי

לפני שני דורות, היו לי 4 סבים - והם 4 אנשים שונים

לפני שלושה דורות, היו לי 8 סבים - והם חייבים להיות 8 אנשים שונים וכו´... ז"א, אותם 4 מיליון אבות קדמונים שלי, שונים זה מזה. מה אני מפספס פה

ארנון

 

[ראם ערן]

וגם אני פספסתי...

 

[masorti]

אתה צודק...

המודל שלי מסביר את קצב גידול האוכלוסיה, אך לא את מספר האבות הקדמונים של אדם יחיד. ברור לי שמשהו בחישוב שלך שגוי בלי שום קשר לגודל האוכלוסיות של היהודים אז ועכשיו. (אבל אני לא יודע למצוא את השגיאה) הטענה הבסיסית שלך היא שלאדם כלשהו יש 2 בחזקת N אבות קדומים השונים זה מזה, כאשר N עולה ב-1 כל 25 שנה. בוא ונחשב את N עבור מליון שנה... N=40,000 . בהנחה שכולנו צאצאים של בני האדם הראשונים שחיו לפני מיליון עד 2 מליון שנה.. הרי לך אישית אמורים להיות 2 בחזקת 40,000 אבות קדומים השייכים לדור ההוא. נשמע לך סביר שבאותו דור חי מספר כזה של בני אדם? (או קופי אדם)

 

[ארנון הרשקוביץ]

נו, אבל זה בדיוק מה שאמרתי...

 

[masorti]

אז מה אתה רוצה? שאשלם לך..

פיצויים? הרי כבר כתבתי קודם שאתה צודק ואין לי הסבר לפרדוקס שלך.

 

[TheShis]

ארנון, זה לא מדוייק.

למשל, אם סבך וסבתך היו בני דודים ראשונים (וזה קורה לא פעם ולא פעמיים), אז הסבתא רבה והסבא רבה שלך יופיעו פעמיים במעלה העץ המשפחתי וכמובן שהתופעה "נגררת" הלאה. הכפילויות הללו יביאו אותך למספר הגדול אותו ציינת.

 

[ארנון הרשקוביץ]

התייחסתי לזה, ועדיין נותר פרדוקס

 

[אבינעם קלמה]

עוד על עודף סבים

שלום ארנון, יש כאן בעיה עם האינדוקציה. הטענה שלך היא שלכל N יש 2 בחזקת N סבים קדמונים, וכולם שונים (N הוא מספר הדורות). אמנם הטענה לגבי N=2 ו-N=3 נכונה,אך היא בודאי לא נכונה לגבי N מספיק גדול. משום שאותו סב קדמון מלפני למשל 30 דורות, יכול להוביל להרבה סבים קדמונים מלפני 15 דורות, ולפי החישוב שלך אתה תספור אותו פעמים רבות. האם זה מסביר משהו? אבינעם

 

[ארנון הרשקוביץ]

ההסבר, כנראה, נעוץ בעודף סבים

אך טרם מידלתי את ההנחות המתאימות - פשוט מחוסר נתונים. מה אפשר להניח? שאם נלך חמישה דורות אחורה, לכל אדם יהיו רק 20 סבים ולא 32? צריך, כנראה, קצת סטטיסטיקות לשם כך... ארנון

 

[א77]

את המתמטיקה אשאיר לאחרים

למרות שלמדתי בגינת באמצע שנות התשעים. אבל ביהודים יש הרבה דברים לא מובנים. [אם כי נראה לי שבעיה זו ניתנת להבנה] מחר בלי נדר אביא לך מקורות לכך שבזמן בית המקדש היו הרבה יותר יהודים ממה שמחשב אנציקלופדיה יודאיקה. בכל אופן לי לא מובן לפי המספר שבמקורות שאביא בלי נדר. הרי מדובר בהמון עם. אוליי נכללו בזה גם עשרת השבטים שגלו אל מעבר לנהר הסמבטיון. והקושיא עצומה. איך הצליחו להקריב את כל קרבנות הפסח באותו יום בבית המקדש. לכל קרבן היו מנויים מספר לא גדול של יהודים. היו גם קרבנות חגיגה, ועל המזבח לא קרב קרבן כשהקרבן הקודם לא הסתיימה מלאכתו במזבח. ופשוט זה לא ניתן להבנה והשגה כלל. ואוליי יש בזה משהו יותר רוחני כפי מה שאמרו חז"ל על עשרה ניסים שהיו בבית המקדש, שהאחד מהם היה "עומדים צפופים, ומשתחוים רווחים" והרי להשתחוויה דרוש קצת יותר מקום, וביום הכיפורים כל ישראל היו כרעים על הקרקע כשהכהן הגדול היה מזכיר את שמו המפורש של הקדוש ברוך הוא. אז כתבתי איזשהו פן דתי, והבה נראה מה יציעו המתמטיקאים

 

[friend9]

הערה

לגבי נפלאות המקדש וכו´ - הרי זה בגדר נס. בימים ההם היה נס דבר יומיומי, ואין לחפש הסברים הגיוניים. לגבי השאלה של ארנון, הרי היה יכול לכתוב ערבים או גרמנים במקום יהודים, וה"פרדוקס" (שאיננו פרדוקס, כפי שהוסבר ע"י masorti) היה ללא שינוי.

 

[דדיחתם]

הסבר אפשרי

1. לגבי היהודים : למה יהודים אשכנזים נראים שונה מיהודים תימניים וכו´? משום שבכל התפוצות התערבבו עם היהודים גרים שונים (כוזרים למשל?), והיו מקרי אונס, כך שלא כל אבות אבותינו היו יהודים, וזה הסבר חלקי לקושיה שהעלה ארנון-חלק מהאבות הנם גויים. אינני יודע האם יש הערכות לגבי מספרים מדוייקים. 2. תקף גם לעמים אחרים - מספר הנישואין עם קרובים לדעתי גדול משכתבת-כמובן שפעמים רבות כלל ללא ידיעה שקרובים, כששני בני דודים מדרגה עשירית מתחתנים. אם תגיע במחקר 700 שנים אחורה (היית רוצה...) תראה שחלק גדול מאוד מאבות-אבותיך מופיעים לגמרי במקרה בכמה וכמה ענפים. לכן אם אמרת 3 מתוך 4 סבים - לדעתי בטווח של שבע מאות שנה אפילו אפשר להגיד פחות מ-2.5. רק לפי הסתכלות באילן היוחסין שקשור אליי - לגבי צאצאי הרב חיים קיצע מהונגריה שילדיו נולדו בתחילת המאה ה-19, היו המון נישואים בתוך המשפחה. רבים מאוד מצאצאיו נישאו לצאצאים אחרים. ידוע לי על שתי אחיות שהן צאצאיות של 4 מילדיו (מתוך 7 להם היו ילדים), ועל עוד אח ואחות שרק סבתא אחת שלהם מתוך 4 הסבים והסבתות לא היתה צאצאית של חיים קיצע, ומתוך 6 הסבי רבא הנותרים (הכוונה מלבד הורי הסבתא ה"חריגה"), 5 צאצאי חיים קיצע,בהם שלושה אחים, ומתוך ששת הורי החמישה האלה, 3 הם ילדי חיים קיצע. אז תחשוב איך מתמעט כאן מספר הסבים. וברור שדברים מעין אלו היו בכל משפחה.