בעיית בנייה באמצעות סרגל ומחוגה

[בחשכת הלילה]

נתון ישר וקטע AB שאינו חותך את הישר ואינו מקביל לו.
יש למצוא באמצעות סרגל ומחוגה נקודה, המרוחקת במידה שווה מהישר ומהנקודות A ו-B.

 

[הפרבולה1]

נעביר ישר שהוא אנך אמצעי לקטע AB בנקודה M , הנקודה O המבוקשת נמצאת על האנך האמצעי .
D הוא נקודה על הישר כך ש OD=OA=OB . אם O הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD אז OD מאונך לישר הנתון. והישר משיק למעגל, צריך למצוא את D.
נמשיך את AB עד שיחתוך את הישר הנתון בנקודה C ( הקו הירוק )
מתקיים AC*BC= CD*CD

צריך למצוא את האורך CD שהוא השורש של AC*BC , בונים בצד קטע שאורכו AC+CB , זה יהיה יתר של משולש ישר זוית שנבנה , מעלים אנך בנקודה C על הקטע הזה ומשרטטים מעגל שמרכזו AC+CB וקוטרו AC+CB נקודת החיתוך עם האנך שיוצא מ C נותן נקודה D , וCD זה הקטע המבוקש שיש להעתיקו לישר הנתון החל מנקודה C.
עכשיו שמצאנו את D מעלים ממנו אנך לישר הנתון ונקודת החיתוך עם האנך האנצעי של AB זה O.

הערה: הנחתי ש AM=BM קטן מהמרחק של M לישר הנתון.

 

[בחשכת הלילה]

נעביר ישר שהוא אנך אמצעי לקטע AB בנקודה M , הנקודה O המבוקשת נמצאת על האנך האמצעי .
D הוא נקודה על הישר כך ש OD=OA=OB . אם O הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD אז OD מאונך לישר הנתון. והישר משיק למעגל, צריך למצוא את D.
נמשיך את AB עד שיחתוך את הישר הנתון בנקודה C ( הקו הירוק )
מתקיים AC*BC= CD*CD

צריך למצוא את האורך CD שהוא השורש של AC*BC , בונים בצד קטע שאורכו AC+CB , זה יהיה יתר של משולש ישר זוית שנבנה , מעלים אנך בנקודה C על הקטע הזה ומשרטטים מעגל שמרכזו AC+CB וקוטרו AC+CB נקודת החיתוך עם האנך שיוצא מ C נותן נקודה D , וCD זה הקטע המבוקש שיש להעתיקו לישר הנתון החל מנקודה C.
עכשיו שמצאנו את D מעלים ממנו אנך לישר הנתון ונקודת החיתוך עם האנך האנצעי של AB זה O.

הערה: הנחתי ש AM=BM קטן מהמרחק של M לישר הנתון.



צפה בקובץ המצורף 126417

צפה בקובץ המצורף 126418

וקוטרו

תודה רבה וחג שמח

 

[בחשכת הלילה]

נעביר ישר שהוא אנך אמצעי לקטע AB בנקודה M , הנקודה O המבוקשת נמצאת על האנך האמצעי .
D הוא נקודה על הישר כך ש OD=OA=OB . אם O הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD אז OD מאונך לישר הנתון. והישר משיק למעגל, צריך למצוא את D.
נמשיך את AB עד שיחתוך את הישר הנתון בנקודה C ( הקו הירוק )
מתקיים AC*BC= CD*CD

צריך למצוא את האורך CD שהוא השורש של AC*BC , בונים בצד קטע שאורכו AC+CB , זה יהיה יתר של משולש ישר זוית שנבנה , מעלים אנך בנקודה C על הקטע הזה ומשרטטים מעגל שמרכזו AC+CB וקוטרו AC+CB נקודת החיתוך עם האנך שיוצא מ C נותן נקודה D , וCD זה הקטע המבוקש שיש להעתיקו לישר הנתון החל מנקודה C.
עכשיו שמצאנו את D מעלים ממנו אנך לישר הנתון ונקודת החיתוך עם האנך האנצעי של AB זה O.

הערה: הנחתי ש AM=BM קטן מהמרחק של M לישר הנתון.



צפה בקובץ המצורף 126417

צפה בקובץ המצורף 126418

וקוטרו

"משימה" נוספת
מה המספר המינימלי של פעולות הנדרשות לבנייה? פעולות: בניית ישר או מעגל/קשת.
בבנייה שהיצעת מצאתי מינימום 12. בבנייה אחרת שהציעו חברים - 11. אפשר בפחות?

 

[הפרבולה1]

"משימה" נוספת
מה המספר המינימלי של פעולות הנדרשות לבנייה? פעולות: בניית ישר או מעגל/קשת.
בבנייה שהיצעת מצאתי מינימום 12. בבנייה אחרת שהציעו חברים - 11. אפשר בפחות?

איך יצא 12 , ספרתי יותר

3 - אנך אמצעי ל AB
1 העתקת CB על המשך AC ( נשתמש בהמשך הישר AC לבנות את משולש העזר 'BA'D כדי לקבל sqrt(AC*BC)=CD'=CD
4 אנך ל C
4 מעגל סביב הקוטר A'B
1 העתקת 'CD ל CD
4 אנך ל D

סה"כ 3+1+4+4+1+4 = 17 פעולות

 

[בחשכת הלילה]

3 פעולות - אנך מרכזי ל-AB.
1 פעולה - המשך את קטע AB לקטע AC. אפשר להמשיך אותו גם בכיוון השני, אבל לא חובה (רק עבור הבנת השרטוט).
1 פעולה - מעגל שמרכזו בנקודה M ורדיוסו MC. נניח (רק עבור הבנת השרטוט), שהוא חותך את הישר AC בנקודה נוספת E.
3 פעולות - ישר, העובר דרך נקודה B ומקביל לאנך האמצעי. הוא חותך את המעגל מהפעולה הקודמת בנקודה K. האורך של BK הוא בדיוק האורך של CD.
1 פעולה - מוצאים את הנקודה D.
3 פעולות - בונים אנך אמצעי לקטע BD. נקודת החיתוך של שני האנכים האמצעיים היא מרכז המעגל.

 

[הפרבולה1]

3 פעולות - אנך מרכזי ל-AB.
1 פעולה - המשך את קטע AB לקטע AC. אפשר להמשיך אותו גם בכיוון השני, אבל לא חובה (רק עבור הבנת השרטוט).
1 פעולה - מעגל שמרכזו בנקודה M ורדיוסו MC. נניח (רק עבור הבנת השרטוט), שהוא חותך את הישר AC בנקודה נוספת E.
3 פעולות - ישר, העובר דרך נקודה B ומקביל לאנך האמצעי. הוא חותך את המעגל מהפעולה הקודמת בנקודה K. האורך של BK הוא בדיוק האורך של CD.
1 פעולה - מוצאים את הנקודה D.
3 פעולות - בונים אנך אמצעי לקטע BD. נקודת החיתוך של שני האנכים האמצעיים היא מרכז המעגל.

אכן .

 

[בחשכת הלילה]

אכן .

אגב, יש שתי נקודות מתאימות!
הבנייה שלך מאפשרת למצוא בקלות גם את הנקודה השנייה!
אם היתה לנו "מחוגת קסמים" שיודעת לשרטט פרבולה, היא היתה משרטטת פרבולה עם המוקד בנקודה A ועם הישר הנתון בתור המדריך. והאנך האמצעי לקטע AB היה חוצה אותה בשתי נקודות!

 

[הפרבולה1]

אגב, יש שתי נקודות מתאימות!
הבנייה שלך מאפשרת למצוא בקלות גם את הנקודה השנייה!
אם היתה לנו "מחוגת קסמים" שיודעת לשרטט פרבולה, היא היתה משרטטת פרבולה עם המוקד בנקודה A ועם הישר הנתון בתור המדריך. והאנך האמצעי לקטע AB היה חוצה אותה בשתי נקודות!

את הנקודה השניה נמצא ככה ( אחרי שיש לנו את D )
נקצה נקודה P על הישר מהצד השני של C כך ש DC=CP
מנקודה P נעלה אנך, החיתוך שלו עם האנרך האמצעי של AB ( שעובר דרך M ) הוא הנקודה הנוספת

 

[בחשכת הלילה]

בציור המצורף, החלקים שישורטטו בפועל, צבועים בשחור.
בצבע ירוק מוצגים – לצורך המחשה בלבד - חלקים שלא ישורטטו בפועל.


3 פעולות: בניית אנך אמצעי PC לקטע AB. בוחרים עליו נקודה כלשהי D.
3 פעולות: בונים אנך DE לישר L, העובר דרך נקודה D.
1 פעולה: משרטטים מעגל שאמצעו בנקודה D ורדיוסו שווה DE.
1 פעולה: בונים ישר AC החותך מעגל זה בשתי נקודות. תהי F אחת מהן. נציין, ש- DE=DF כשני רדיוסים של אותו מעגל.
3 פעולות: בונים ישר העובר דרך נקודה A ומקביל לקטע FD (שלא חייבים לשרטט אותו). ישר זה חותך את האנך האמצעי PC בנקודה O, שהיא הנקודה שאנו מחפשים.

הוכחה
יהי OU אנך מנקודה O לישר L (אין צורך לשרטט אותו).
מדמיון משולשים מתקבל:
DE/OU = CD/CO = DF/OA
ומכאן: OU=OA.
מש"ל.

כאן התקבלו סה"כ 11 פעולות.

כלומר, נכון לעכשיו שיא המינימליות שלנו הוא 11. תוכלו לשפר?

 

[בחשכת הלילה]

בחור רציני אחד מכיר פתרון של 9 פעולות בלבד!
נכון לעכשיו, הוא לא הצליח להעלות את השרטוט.