נראה לי שגם וגם, אך משמעותן אינה זהה.
למילה "שֵנִית" יש שני תפקידים: 1) תואר, צורת נקבה של "שני" (המילה שניה היא מלשון חכמים- במקרא המילה היא שנית), וכמו כל תואר ניתן להשתמש בה כקיצור מורחב של שם עצם: "...ושם השנית צִלה" שמה של האשה השנית צלה. 2) תואר הפועל (שמשמעו דומה למילה "שוב"). דוגמא מהמקרא "וימליכו שנית לשלמה בן דויד". ולשאלתך: האם נכון לכתוב "בשנית" (הנושא עלה בשנית), או שיש להסתפק ב"שנית"? 1) הנושא עלה שנית= הנושא עלה שוב. 2) הנושא עלה בשנית (קיצור של בפעם השנית)- ב+שם עצם => מתפקד כתואר הפועל. ולכן נראה שאפשרי גם הוא. אמנם במקרא לא מצאנו "בשנית", אך צורה זו תואמת לדרך העברית, ובמקרא מצאנו "ויוסף ה' קְרֹא שמואל בשלִשית". וכנראה שיש הבדל בין הצורות: בשנית= בפעם השנייה שנית= שוב, נגזרת מהשורש שנה (חזר), ואף בפעמים השלישית והרביעית וכו' ניתן להשתמש בתוה"פ שנית (לעומת המילה "בשנית" המתייחסת לפעם השנייה בלבד). וכך בנוסח התפילה: "ותגאלנו שנית" אף שתפילה זו מתייחסת לגאולה העתידית היא הגאולה השלישית.