גיאומטריה

[גיל14]

גיאומטריה

יהי מעגל עם מרכז O ברדיוס R, ויהיו AB, BC שני מיתרים שווי-אורך הנפגשים בנקודה B על המעגל. תהי D נקודה בתוך המעגל, כך ש-BCD משולש שווה-צלעות. הישר העובר בנקודות A ו-D חותך את המעגל בנקודה A ובנקודה נוספת, נקרא לה E. הוכיחו: DE=R.

 

[JustAFriend]

<הלכתי לקנות מחוגה>

 

[טלמון סילבר]

הערה חשובה../images/Emo70.gif ../images/Emo26.gif

אחרי קניית המחוגה, צריך לקחת את המשולש BOC, ולסובב אותו(!) סביב נקודה C ב-60°, בכיוון שיכניס את נקודה B לתוך המעגל.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון

נסמן כ-α את הזוויות:

BAC = BCA = BEA = BEC = α​

הזווית α<60°, אחרת, הנקודה D לא היתה יכולה להיות בתוך המעגל. הזווית המרכזית: BOC = 2α. תהי הנקודה Q מרכז המיתר BC. אז במשולש ישר-הזווית QOC הזווית: QOC = α. עכשיו חישוב פשוט של זוויות:

AOC = 180° - BAC - BCA = 180° - 2α ABD = ABC - DBC = 180° - 2α - 60° = 120° - 2α BAD + BDA = 180° - ABD = 180° - (120° - 2α) = 60° + 2α​

המשולש ABD שווה-שוקיים:

AB = BC = BD :והזוויות BAD = BDA BDA = (BAD + BDA) / 2 = (60° + 2α) / 2 = 30° + α CDE = 180° - ADB - BDC = 180° - (30° + α) - 60° = 90° - α​

תהי R נקודת המפגש של CD ו-EB. הקטע ER מהווה גובה וחוצה זווית במשולש CDE. משמע, משולש זה שווה-שוקיים:

EC = ED CR = DR​

כמו-כן, המשולשים ישרי-הזווית DER ו-COQ דומים: הזוויות

DER = COQ = α :אך גם הניצבים DR = CQ​

כי כל אחד מהם שווה למחצית צלע המשולש שווה-הצלעות BCD. משמע, גם היתרים שלהם שווים:

DE = CO = R​

מש"ל. ודרך אגב התקבלה תוצאה נוספת: גם

CE = DE = R​

מה שרומז על קיומה של הוכחה קצרה יותר לטענת התרגיל.

 

[1אברהם]

ניסיון

נסמן כ-α את הזוויות ( כמו שטלמון סימן ): BAC = BCA = BEA = BEC = α המשולשים DBE ו EBC חופפים כי זויות BEC BEA שוות לאלפא , BE צלע משותפת ו BD=BC וגם המשולשים חדי זוית . BE חוצה זוית במשולש שווה הצלעות BDC . והזוית CBE שווה 30 מעלות שווה ל CAE , והקשת CE שווה 60 מעלות. גם DO חוצה זוית באותו משולש של זוית BDC וחוצה את הקשת BC . חשבון זויות במשולש ODE ( נראה שהוא שווה שוקיים )

ODE = 180º-30º-ADB = 150º-BAD = 150º-BAC-CAE = 150º- α-CAE = 150º- α- 30 =120-α DOE= 180-QOE =180-QOC-COE = 180 - α - 60 = 120-α = ODE​

לכן המשולש ODE שווה שוקיים ו DE=OE=R

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון קצר

במשולש שווה-הצלעות BCD, נוריד מהקודקוד B גובה-תיכון-חוצה-זווית אל הצלע CD. ישר זה חותך את המעגל בנקודה נוספת X. הישר XD חותך את המעגל בנקודה נוספת Y. תהי הזווית: CXB = α. אזי גם הזווית: DXB = α והזווית: DXC = 2α. והזווית המרכזית: BOC = 2 BXC = 2α. והמשולשים שווי-השוקיים DXC ו-BOC חופפים, ושוקיהם: XD = XC = OB = OC = R. מכיוון שהזוויות CXB ו-YXB שוות, הן נשענות על מיתרים שווים, והנקודה Y היא הנקודה A, והישר XY הוא הישר AD, והנקודה X היא הנקודה E.