בבקשה הראשונה
הנוסחה הבסיסית היא
F(t) = F(0)*a^t
כאשר
F(t) = הכמות בסוף התקופה
F(0) = הכמות בתחילת התקופה
a = קצב הגידול המעריכי
זמן מחצית החיים מוגדר כזמן שלוקח לכמות מסוימת של חומר לקטון עד שתהיה חצי ממה שהייתה בהתחלה, כלומר
F(t) = 0.5F(0)
שימי לב שבגלל שמדובר ביחס, הכמות ההתחלתית מצטמצמת ועבור זמן מחצית החיים מקבלים את הנוסחה
0.5 = a^t
אז עבור החומר הראשון
0.5 = a1^20
ועבור החומר השני
0.5 = a2^50
מכאן אנחנו יכולים לחלץ את קבועי הדעייכה של כל אחד מן החומרים. אפשר לעשות זאת במחשבון בתור 0.5 בחזקת 1/50 ו 1/20 ואפשר גם לחשב בעזרת לוגים. מקבלים
a1 = 0.966
a2 = 0.986
עכשיו אפשר לגשת סוף סוף לפתרון השאלה שנשאלה. יש לנו את קבועי הדעיכה ואנחנו צריכים לחשב את הזמן
F2(t) = 8*F1(t)
F1(0) = F2(0) = F(0)
נציב בנוסחה
F1t) = F(0)*0.966^t
F2(t) = F(0)*0.986^t
0.986^t = 8*0.966^t
(0.986/0.966)^t = 8
נפעיל לוג על שני האגפים
t * log(0.986/0.966) = log8
t = 101.74 years
אז רק אחרי מאה ושתים שנים הכמות השנייה תהיה פי שמונה מן הכמות הראשונה
