דיון על מדידות

[Deathatred]

דיון על מדידות

מה היא בעצם מדידה? מדידה היא בעצם השוואה לגודל ידוע. למשל - שולחן שאורכו 3 מטר הוא שולחן שנכנס בו 3 פעמים סרגל שאת אורכו הגדירו להיות מטר. עוד דוגמה - ספר שמסתו 1.5 קילוגרם הוא ספר שמסתו שווה למסה של משקולת וחצי תקניות שמשקלן הוגדר להיות קילוגרם (סתם לידע כללי: הקילוגרם התיקני שמור במכון למדידות בצרפת). כלומר, מדידת גודל מסוים נעשית ע"י השוואתו לגודל ידוע ומציאת היחס ביניהם. כעת, בוא נניח שאנו יכולים למדוד מרחק באמצעות פוטון. מאחר שמהירות האור קבועה, נוכל ע"י מדידת הזמן לחשב את המרחק שעבר הפוטון. נשרטט ריבוע שצלעו 1 מטר. מה הוא אורך האלכסון? התשובה האינטואיטיבית היא שורש שתיים. אבל בוא נחשוב דקה ונבדוק מה זה בעצם אומר. כאמור, גוף שאורכו q מטרים הוא גוף שהמטר נכנס בו q פעמים. או בנוסח אחר: גוף שהיחס בינו לבין יחידת המטר הוא q - נאמר שאורכו q מטרים. מהניסוח הנ"ל כל להקיש שהאורך הוא גודל רציונלי (אפשר היה גם להסיק זאת מהשימוש שלי באות q קטנה שמזכירה את הסמל המתמטי Q של הרציונליים

). כעת, נסתכל שוב על אלכסון הריבוע. אמרנו שאורכו הוא שורש שתיים מטרים. כלומר, המטר נכנס באלכסון שורש שתיים פעמים. משפט זה שנראה ברור למעשה מטעה ולא ברור בכלל שכן לא ברור כמה זה "שורש שתיים פעמים". אם נחזור לניסוח הקודם שאמר ש q הוא היחס בין הגודל הנמדד למטר, נקבל ששורש שתיים הוא היחס בין אלכסון הריבוע למטר. השימוש במונח "יחס" לגבי שורש שתיים הוא מטעה כי שורש שתיים לא מספר רציונלי. כעת, נשאלת השאלה - האם אורך הוא גודל בדיד (קבוצת הרציונלים Q היא בת-מניה) או גודל רציף (כלומר, האורך מיוצג ע"י מספר ממשי)? מה בכל זאת עושים? כרגע המדענים אינם משתמשים במספרים שלמים אמיתיים אלא בקירובים רציונליים שלהם בלבד.

 

[אנונימאוס]

המרחב

לא מורכב מחלקיקים, המרחב הוא מושג אבסטרקטתי ולכן לדעתי הוא לא יכול להיות דיסקרטי. למרות שקיימות היום תיאוריות הטוענות שהוא בדיד. בכל מקרה, ניתן להגיד שאלכסון בעל אורך שורש שתיים זהה באורכו לצלע של ריבוע בעל שטח 2 - (עכשיו לך תגדיר שטח

).

 

[Deathatred]

הגדרת מידת השטח היא עניין פשוט

ונעשה באופן זהה לחלוטין כמו ההגדרה עבור אורך. גודל של שטח מסוים הוא מספר הפעמים שיחידת שטח מוגדרת נכנס באותו שטח. למשל: אפשר למדוד שטח של חדר באמצעות מספר הבלטות. במטבח יש 20 בלטות בעוד בסלון יש 50 בלטות. היחידה מ"ר (מטר מרובע) לא שונה כל כך - העמידו שני מוטות באורך מטר בניצב אחד לשני ואת הריבוע שנוצר על-ידם הגדירו כמטר מרובע. זה כל הסיפור. בקשר להגדרה המתמטית של מושג השטח עצמו - זה כבר יותר מסובך וזו אכן שאלה מעניינת. תן לי לחשוב על זה (גם האחרים מוזמנים לענות).

 

[2_be]

מדידה

התשובה הראשונית שעולה לי בראש היא שכמובן אורך הוא גודל רציף, מדוע לא? הרי ההגדרה למשתנה בדיד היא שאינו כולל שברים (ניתן למניה) ואילו משתנה רציף יכול לקבל אינסוף ערכים (ניתן למדידה, כמו משקל לדוגמא). האם אורך לא יכול לקבל ערך של 1.5 מטר? הרי יתכן משולש שווה צלעות שכל צלע בו היא 1.5 מטר... בנוסף לכל זה, אם אנחנו נעזרים בקירובים: שורש 2 = 1.4142 (או קירוב יותר מדויק) , נפתרת הבעיה. אבל במחשבה שניה ניתן להתיחס לאורך כגודל בדיד. כיצד? אם נבחר יחידת מניה כלשהי קטנה ככל האפשר (פיקו לדוגמא) נוכל למנות יחידות אורך וליצג את האורך כגודל בדיד. כמובן שגם זה תחת המגבלה של קירוב מסוים.

 

[Deathatred]

שים לב ../images/Emo23.gif

שדיברתי על כך שאורך הוא גודל רציונלי ולא רק טבעי. קבוצת המספרים Q היא בת-מניה ויש בה אינסוף איברים שאפשר לסדר בסדרה (כלומר, להתאים לכל איבר ב N איבר ב Q). לכן משתנה בדיד יכול לקבל ערכים רציונליים ולא רק טבעיים (כלומר, הוא כולל שברים). 1.5 הוא מספר רציונלי (שלוש חצאים) ולכן ניתן ליצגו כיחס בין גודל לבין היחידה התקנית (שהיא המטר). בהודעתך ציינת שכדי לחשב את שורש שתיים משתמשים בקירובים - הקירוב שציינת, כמה מדויק שיהיה (כלומר, תוסיף ספרות כרצונך) תמיד יהיה קירוב של שורש שתיים עצמו. הקירוב לעולם יהיה מספר רציונלי (14142... חלקי 10000...) ולא מספר אי-רציונלי.

 

[2_be]

אז ככה...

א. כנראה התכוונת בכותרת ל- "שימי לב" ובהמשך ל- "תוסיפי ספרות"

ב. אני באה מהתחום המעשי שעוסק רוב הזמן בקירובים

ולכן מנקודת מבטי ניתן להסתכל על כמעט כל מספר (עם שורש) כמספר רציונלי בדרך כלשהי...

ג. ניסיון לתת תשובה טובה יותר יעשה מחר, כי נכון לעכשיו אני די שפוכה