האם הוכחתי נכון?( מרוכבים5 יחידות)

[הודו ופרגיות]

האם הוכחתי נכון?( מרוכבים5 יחידות)

היי.
נתון מספר מרוכב Z שאינו ממשי טהור ואינו מדומה טהור. ידוע כי הביטוי Z פחות (אחד חלקי Z גג) הוא מספר ממשי. הוכח כי Z נמצא על מעגל היחידה.

כתבתי את הביטוי הנתון ככה: a+bi -1\(a-bi) q
ועשיתי מכנה משותף והגעתי לביטוי:
a^2 + b^2 -1 \ (a-bi) q

וטענתי שבגלל שהמכנה מרוכב וידוע שהביטוי הוא ממשי אז המונה חייב להיות אפס.
האם זה נכון? כי ראיתי פתרון קצת יותר מסובך שכולל חילוק מרוכבים וכפל במספר הצמוד...אז אני לא יודע אם מה שעשיתי קביל.

 

[Practical Realist]

תשובה

נראה שהתחלת את הפתרון נכון, אבל כן צריך להמשיך עם כפל בצמוד של המונה והמכנה:
zz a+bi-1/(a-bi) = (a²+b²-1)/(a-bi) = (a²+b²-1)*(a+bi)/[(a-bi)*(a+bi)] = zz
zz = (a²+b²-1)*(a+bi)/(a²+b²) = (a+bi)*[1-1/(a²+b²)] zz
כיוון שהמספר [Z פחות 1 חלקי הצמוד של Z] ממשי, החלק המדומה שלו שווה אפס:
zz bi*[1-1/(a²+b²)] = 0 zz
כיוון שידוע שהמספר Z אינו ממשי טהור אז b שונה מאפס, לכן:
zz 1-1/(a²+b²) = 0 → a²+b² = 1 zz
הביטוי a²+b² הוא ערכו המוחלט בריבוע של המספר המרוכב Z והוא שווה 1, ולכן גם ערכו המוחלט של Z שווה 1 ואז Z נמצא על מעגל היחידה.

 

[הודו ופרגיות]

תודה.