הזבוב והרכבת

[arye9]

הזבוב והרכבת

מכירים את הסיפור על הזבוב והרכבת? לא? ובכן: זבוב עף במהירות של 1 קמ"ש, מולו דוהרת רכבת במהירות של 100 קמ"ש. הזבוב מתנגש בחזית הקטר, נמרח עליו ונע בכוון ההפוך במהירות הקטר. כאשר הזבוב שינה את כוון התקדמותו היה חלקיק שניה שבו היה ללא תנועה - מהירות 0. אבל הזבוב היה צמוד לקטר כך שגם מהירות הקטר התה באותו זמן 0. מה הולך כאן? זה הגיוני? היכן הטעת?

 

[קווארק]

הרכבת והזבוב או כל חרק אחר.

אצה אצה לה הרכבת במהירות קבועה והנה היא התנגשה לה בזבוב. הרכבת עם כל עוצמתה תמשיך כאילו מאומה לא קרה. שום השפעה לא תהיה עליה לא משנה אם זה זבוב או קנה קש העף לו ברוח, או אפילו הרוח עצמה הנושבת נגד כיוון הנסיעה של הרכבת. אך כל המתנגשים בה מהמהירות שהיתה להם לפני ההתנגשות הם יעברו, הם ורק הם למהירות אפס בזמן שכיוון תנועתם תשתנה. רגע ההצמדות שלהם לקטר תביא אותם למהירות אפס, אך לא לרכבת. הסבר עם נוסחא פיזיקלית אין לי. רק היגיון בלבד.

 

[Henryf]

"צמוד" לדולר.

הבעייה הינה במושג "צמוד". תהיה נקודת זמן בו המרחק בין שני הגופים (הזבוב והקטר) יהיה אפס. אין פרושו שמהירותיהם שוות. אין פרושו שהגופים "צמודים". הגדר/י היטב מהו המושג "צמוד" עבורך, ואז החלט/י באם לפי הגדרתך אכן הגופים "צמודים" באותה נקודת זמן. זה בסה"כ משחק עם מילים, ומשיכת "מצב פיסיקלי" לאורך "הגדרה מרוחה".

 

[masorti]

בוא ונשנה את הבעיה...

כדור מתכת קשיח נע לעבר רכבת נוסעת. ברור שלאחר ההתנגשות הוא ינוע בכיוון הפוך (בין אם נניח שיותז אחורה ובין אם נניח שהרכבת תגרור אותו איתה). לפי הטיעון מקודם, יש רגע בו מהירות הכדור היא אפס. ההבדל הוא שכאן אין "מריחה" משום שהנחנו כדור קשיח. איך תסביר זאת כעת?

 

[vizini]

למה כולם אומרים שיש רגע

בו המהירות היא אפס?

 

[masorti]

משפט רול (חשבון דיפרנציאלי)

If f is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), and f(a) = f(b) = 0, then there exists a number c in (a, b) such that f´(c) = 0 תגדיר: f = ההעתק של הזבוב, [a,b] = אינטרוול הזמן. מכיון שבסופו של התהליך הזבוב המרוח יגיע חזרה לנקודת היציאה, מתקיימים התנאים של משפט רול. ולכן: יש נקודת זמן בתוך האינטרוול שעבורה המהירות (=נגזרת ההעתק) מתאפסת.

 

[vizini]

טעות.

התנאי העיקרי לא מתקיים. f אינה רציפה.

 

[vizini]

סליחה, צריך להיות: אינה גזירה.

 

[masorti]

הטענה ש-f אינה גזירה...

שקולה לטענה שהמהירות אינה רציפה. כלומר: אתה טוען שאי אפשר להשתמש במשפט רול להוכחת מעבר באפס משום שיש נקודת אי-רציפות של המהירות באפס. מכיון שזהו טיעון מעגלי (אני מניח עובדה כדי להוכיחה ואילו אתה טוען שאינה קיימת וכך מפריך אותה), ראוי להביא hard evidence לנכונות ההנחה. אין לי הוכחה ישירה שהמהירות רציפה, אבל אני מסתמך על ההנחה המקובלת שפונקציות שמתארות גדלים פיסיקליים הן "נחמדות" (רציפות, גזירות, וכו´). למעט כמובן מקרים של מעברי פאזה ושאר תופעות ייחודיות. האם יש לך סיבה מיוחדת להניח שהמהירות של הזבוב אינה פונקציה רציפה?

 

[vizini]

כן.

כדי שהנגזרת תהיה קיימת, אז הגבול מימין צריך להיות שווה לגבול משמאל. בנקודת המעבר הגבול מימין תמיד נותן מהירות לכיוון אחד, הגבול משמאל תמיד נותן מהירות לכיוון אחר, ולכן אינם שווים. לכן בנקודת המעבר אין נגזרת.

 

[masorti]

תיקנתי את עצמי זה עתה (ראה למטה)

 

[masorti]

ועכשיו צריך להמשיך ולשאול...

אתה הסברת מדוע בלתי אפשרי להשתמש במשפט רול. אבל עדיין האינטואיציה דורשת ערך יחיד של המהירות. הרי משמעות דבריך היא שיש רגע שבו לזבוב (או לכדור הקשיח) יש שתי מהירויות פיסיקליות. איך זה מסתדר עם האינטואיציה של המכניקה הניוטונית?

 

[vizini]

זה לא.

זה בג במכניקה הניוטונית. כמובן שפיסיקלית זה לא יקרה מפני שאין גופים קשיחים, אבל תיאורטית לפי המכניקה הניוטונית זו אפשרות. ראה למשל את הדיון בפתיל הזה: http://forums.ort.org.il/scripts/showsm.asp?which_forum=91&mess=1521239

 

[masorti]

באג במכניקה הניוטונית??

אף פעם לא שמעתי על באג כזה. בוא ונעזוב את העובדה שגוף קשיח אינו קשיח בכל סקלה. ובוא ונעזוב התנגשויות פלסטיות. אתה טוען שאם נקח נקודת מסה וניתן לה להתנגש ברכבת, אז ברגע הפגיעה יש לה שני ערכי מהירות בו זמנית? (האם הפיסיקה היא כזו, או שזה מה שתראה המכניקה הניוטונית בניגוד למציאות?)

 

[vizini]

לא שני ערכים, אלא אף ערך.

יותר מזה - יש שינוי סופי בתנע בזמן אפס - כוח אינסופי. כבר זה היה צריך לאותת לחברה שמשהו במכניקה הניוטונית לא בסדר.

 

[voguemaster]

זה לא כ"כ מדויק

אם אתה מדבר באופן תיאורטי אתה כמובן מדבר על התנגשויות פלסטיות או אלסטיות מושלמות (ללא איבוד אנרגיה) של מסה נקודתית או אחרת, ושינוי תנע מיידי ולא לאורך איזשהו אינטרוול dt סופי. ההנחות האלו לא מסתדרות אפילו עם המתימטיקה שבעזרתה מתארים את המערכת אז אני ממש לא רואה פה שום באג. הבאג הוא של מי שמניח הנחות כאלו. כמובן שכל הבעיה נפתרת אם נניח שזמן הוא בדיד ולא רציף, ואז השינוי בתנע של המסה (הכח) הוא לא אינסופי כי dt שונה מ-0.

 

[masorti]

אופס.. לא דייקתי בשקילות...

הטענה ש-f לא גזירה שקולה לטענה שיש נקודות בהן המהירות לא מוגדרת היטב (מהירות אינסופית, מהירות שונה כשמתקרבים לנקודה מימין ומשמאל). מתוך הנאום הנ"ל שלי על טיעון מעגלי ופונקציות "נחמדות".... האם יש לך סיבה מיוחדת לחשוב שהמהירות מקיימת את מה שציינתי? (מהירות אינסופית ודאי אין, אז נשאר לדון בנקודה בה המהירות דו-משמעית)

 

[masorti]

אתה ענית כבר למעלה.

 

[Henryf]

מהי מריחה?

ב"מריחה" התכוונתי למריחת המושג "צמודים", לא ל"מריחה" פיזית.

 

[BiggPoppa]

קראתי את השרשור שלכם.

זו שאלה קלאסית בפיסיקה הנוגעת למערכות יחוס. אם נשים לרגע את הזבוב במקום והרכבת תיסע 101 קמ"ש (למעשה ניקח מערכת צירים על הזבוב) זו שאלה שקולה לחלוטין וכאן ברור שהזבוב עומד , עומד ואז מתחיל לנוע במהירות של -101 קמ"ש ולמעשה פחות מכך כיון שהתנע (מכפלת המסה במהירות) הכולל נשמר . מסקנות:1)הזבוב מאיט את הרכבת 2) ישנה אי רציפות במהיות בפתרון לשאלה זו. כלומר מנקודת מבט סטנדרטית -מערכת צירים שנמצאת על הרציף הזבוב עף ב 1קמ"ש ואז לפתע משנה את מהירותו ל100 - קמ"ש (בערך) אין רגע שבו הזבוב במנוחה. במציאות כמובן שדבר כזה לא יתכן שכן הזבוב למעשה מאיץ והרכבת מאיטה על פני אינטרוול זמן (קצר מאוד). לכן בשאלה כזו אין משמעות לרגע ההתנגשות שכן הוא אינו מוגדר היטב. לפי שאלתך הבנתי שאתה מתכוון לשבריר שניה שבו הזבוב והרכבת באים במגע - שים לב שאם הזבוב במהירות 0 והרכבת ב100 קמ"ש אין כאן סתירה!!