הכוח המופעל על מטען על ידי משטח מעוגל

[אודי א ד]

הכוח המופעל על מטען על ידי משטח מעוגל

נתון מטען המרוחק מרחק h מדיסקה ברדיוס r הטעונה בצפיפות מטען sigma.
h ניצב לרדיוס הדיסקה.
מהו הכוח שמופעל ביניהם? אין הנחה כי h>>r או משהו בסגנון...
אני רק עכשיו מתחיל ללמוד אלקטרוסטטיקה ואפילו לגבי השאלה הזו אני לא בטוח.
תודה לכם!

 

[סוס כסוף]

בבקשה

הכי נוח זה לחשב את השדה של הדיסקה בגובה H מעל מרכז הדיסקה ואחר כך לכפול במטען הבודד לפי הנוסחה F=Eq (הכל וקטורי). נסמן את הנקודה האמורה (שבה ממוקם המטען) ב A.
השדה יהיה לאורך הנקודה המחברת אלמנט שטח כלשהו עם הנקודה A. את השדה הזה ניתן לפרק לרכיב אנכי לדיסקה ולרכיב אופקי (במישור המקביל לדיסקה). עקב סימטריה, כל הרכיבים האופקיים יבטלו זה את זה וכל הרכיבים האנכיים יסתכמו.
הרכיב האנכי שנתרם ע"י כל אחמנט שטח בדיסקה יהיה שווה ל
Ez = K*(σ*ds)/d² *cos α
כאשר אלפא היא הזווית שנוצרת בין הקו המחבר את אלמנט השטח עם הנקודה, לבין הציר האנכי. ראפשר לראות שאם אלמנט השטח מרוחק מרחק איקס ממרכז הדיסקה אזי
d² = H²+x²
tanα = H/x
עכשיו תיאורטית צריך לבצע אינטגרל משטחי על פני כל הדיסקה ולקבל את כל השדה האנכי. אבל אפשר לפשט את הבעיה. ניקח טבעת בקדיוס X ובעובי dx. המטען על הטבעת הזאת יהיה צפיפות המשטח כפול שטח הטבעת
dQ = 2πX*dx*σ = 2πσXdX
cosα = X/√(H²+X²)
d² = X²+H²
השדה האנכי הנגרם ע"י הטבעת הזאת יהיה
dEz = dQ/d²*cosα = 2πσXdx/(x²+H²)* x/√(X²+H²) = 2πσ* x/[(x²+H²)^1.5]*dx

r כל השדה האנכי יהיה האינטגרל של הנ"ל מאפס עד
Ez = ⌠2πσ* x/[(x²+H²)^1.5]*dx
בתקווה שהכתיבה התפוז לא גרמה לי לטעויות חישוב

.

 

[chenfire10]

טיפ קטן בבעיות אלו

1. כח הדדי (חוק 3 של ניוטון) - חשוב מה יהיה לך יותר קל לחשב, כוח שמופעל על נקודה או כוח שמופעל על דיסקה?
2. האם (לאחר שענית על 1) אתה מוצא סימטריה בבעיה? אם כן איזו? (תזכורת - לכוח במע' קרטזית 3 רכיבים).