חידה חשבונית

[עריסטו]

חידה חשבונית

יום אחד השתעממתי ושעשעתי את עצמי במשחק הבא: כתבתי על נייר את המספרים 1 ו-1, עם רווח ביניהם: 1 1 ביניהם כתבתי את סכומם: 1 2 1 שוב בחרתי שני מספרים מהשורה, וכתבתי ביניהם את סכומם: 1 3 2 1 ושוב: 1 3 5 2 1 ושוב: 1 3 5 2 3 1 בקיצור הבנתם את הרעיון - כל פעם אני בוחר שני מספרים מהשורה, שאין ביניהם מספר נוסף, וכותב ביניהם את סכומם. קל לוודא ש- אני לא יכול לעשות שהמספר 2 יופיע בשורה יותר מפעם אחת; אני לא יכול לעשות שהמספר 3 יופיע בשורה יותר מפעמיים; אני לא יכול לעשות שהמספר 4 יופיע בשורה יותר מפעמיים; וכדומה. עכשיו מגיעה החידה - לכל מספר n, כמה פעמים אני יכול לגרום לו להופיע בשורה?

 

[MaD PenGuiN]

נסיון (חידה מדליקה ../images/Emo3.gif)

(התשובה מתחילה ב

- עד לשם זה סיעור מוחין) 5 מופיע 4 פעמים (מקסימום) 6 מופיע פעמיים בלבד. כנ"ל 7 זה מורכב מאינסוף סדרות חשבוניות. בין 1 ל-2 אם כל פעם נוסיף מספר ליד ה-2 תהיה סדרה עם הפרש 2. אז אפשר לעשות אותו דבר בין 1 ו-3, בין 3 ו-8 וכו'. 1 3 5 2 |1||3||8||5||7||9||11||2| הסדרה שבין 1 ו-2 (3, 5, 8...) בין 1 -ו-3 (4,7,10,13,16) בין 3 ו-8 (11,19,27,35) ואפשר גם בכיוון ההפוך כך שבין 3 ו-1 יש (4,5,6,7,8,9,...) כל מספר מופיע לפחות פעם אחת כשמוסיפים מספרים בין 2 ו-1. כל המספרים האי-זוגיים מופיעים כשמוסיפים מספרים בין 1 ו-2. (ה-3 הוא קבוצת החיתוך) כדי שמספר יופיע שוב הוא יכול להיות סכום של 2 מספרים אי זוגיים עוקבים או סכום של 2 מספרים טבעיים עוקבים. כמובן שאפשר לקחת כל 2 מספרים צמודים ולעשות ביניהם את אותה פרוצדורה. 2 מופיע באמצע ולא יופיע שוב כי הוא הכי קטן שיכול להיות בין האחדים. 3 מופיע בין 2 ל-1 (פעמיים) 4 מופיע בין 3 ל-1 5 מופיע בין 4 ל-1 2 ל-3 6 מופיע בין 5 ל-1 7 מופיע בין 6 ל-1 4 ל-3 5 ל-2

אני חושב שמספר יופיע ככפול מספר הדרכים שאפשר לחלק אותו למספר זוגי-אי זוגי. ל-n זוגי: מספר ההופעות יהיה תמיד 2. (אחד בכל צד) ל-n איזוגי: מספר ההופעות שווה למספר חלקי 2 (עיגול למטה) כפול 2 (2 צדדים) n-1, 1 n-2, 2 n-3, 3 ... חידה יפהפיה

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif לא נכון../images/Emo10.gif

הנה המספר 7 יכול להופיע יותר מפעמיים: 1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 4 3 2 1 1 5 4 7 3 ... 1 6 5 4 7 3... 1 7 6 5 4 7 3... כבר יש לי פעמיים 7, ואפשר לעשות אותו דבר בצד השני.

 

[MaD PenGuiN]

לפי החישוב שלי

שבע יופיע 6 פעמים. (3 בכל צד)