חידה - כולם להכנס, קשה ביותר!

[גיא2123]

חידה - כולם להכנס, קשה ביותר!

חלק 1000 מטבעות של שקל ל-10 מעטפות, כך שכל סכום של שקלים שלמים בין 1 ל-1000 יוכל להתקבל מצירוף כלשהו של מעטפות חתומות.

 

[טלמון סילבר]

למי שמכיר את הרעיון

החידה לגמרי לא קשה. למי שלגמרי לא מכיר את הנושא - מומלץ לנסות

 

[גיא2123]

יש לך פתרון??

אני משתדע מהבוקר!! בבקשה תענה

 

[עריסטו]

מותר לי לענות במקומו ../images/Emo35.gif

במעטפה הראשונה - 1 שקל במעטפה השניה - 2 שקלים במעטפה השלישית - 4 שקלים במעטפה הרביעית - 8 שקלים במעטפה החמישית - 16 שקלים במעטפה הששית - 32 שקלים במעטפה השביעית - 64 שקלים במעטפה השמינית - 128 שקלים במעטפה התשיעית - 256 שקלים במעטפה העשירית - 489 שקלים

 

[גיא2123]

תודה, ואיך הגעת לזה?

מה ההגיון מאחורי התשובה?

 

[טלמון סילבר]

רמז -

בוא נִלווה 23 שקלים נוספים, ונשים אותם במעטפה האחרונה, כך שיהיו בה 512 שקלים, וסה"כ אפשר עכשיו להגיע לסכום המקסימלי 1023 שקלים. בעצם, עכשיו אפשר להגיע לכל סכום אפשרי בין 0 לבין 1023. מה אפשר לומר על סדרת המספרים שבכל המעטפות? כך פתרון החידה נראה פשוט ומובן יותר.

 

[Nir7792]

תפסיק לתת רמזים ותענה לו כבר

למה רק רמזים כל הזמן?

 

[slallum]

כי אי חשיבה = ניוון.

למה לתת ישר את התשובה? לתת לבנאדם לחשוב יעזור רק לו. חבל להיות עצלן ולא לאמץ את המוח. סך הכל זה ממש לא קשה, ואם הוא ישאל שוב אני בטוח שייתנו עוד רמזים או מקסימום יגלו את התשובה. עריסטו, המשך כך

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif כן המפקד!

זו שיטת הספירה הבינארית. הרי שאפשר לייצג כל מספר טבעי בשיטת הספירה העשרונית, כפירוק לפי חזקות של 10. למשל, אנו כותבים את המספר "107", שזה בעצם קיצור של:

(1 * 10^2) + (0 * 10^1) + (7 * 10^0)​

ובדיוק באותו אופן אפשר לפרק כל מספר טבעי, למשל את אותו 107, לפי חזקות של 2:

(1 * 2^6) + (1 * 2^5) + (0 * 2^4) + (1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0)​

שכותבים את זה בשיטת הספירה הבינארית, כלומר, בבסיס 2 במקום בסיס 10, כך: 1101011. היתרון של שיטת הספירה הבינארית בהשוואה לעשרונית הוא, שבשיטה העשרונית יש לנו בכל פוזיציה, לתיאור המקדם של כל חזקה של 10, בדיוק 10 אפשרויות - מ-0 עד 9, ואילו בשיטת הספירה הבינארית יש שתי אפשרויות בלבד - 0 או 1. ובדיוק זה מה שמתאים ומתבקש בחידונת הנוכחית: הרי לגבי כל מעטפה יש בדיוק שתי אפשרויות: או שלוקחים אותה, או שלא לוקחים אותה. לכן, אם נותנים למעטפות את הערכים של החזקות השלמות של 2, אנו מקבלים אפשרות להרכיב באמצעות קומבינציות שונות שלהן את כל המספרים הטבעיים עד הסכום של כולן. ומעשית עושים את זה כך. ניקח מספר כלשהו בין 0 ו-1023. נרשום אותו בשיטת הספירה הבינארית - נקבל מקסימום 10 ספָרוֹת בינאריות, כולן 0 או 1. נלך על המספר הזה מימין לשמאל, ובהתאם, נרוץ על המעטפות בסדר העולה 1, 2, 4, 8 וכו'. עכשיו, כל פעם שאנו נתקלים בסִפרה בינארית 0, אנו מדלגים על מעטפה, וכל פעם שישנה הסִפרה הבינארית 1, אנו לוקחים את המעטפה! ובאופן זה אנו מקבלים בדיוק את הסכום הדרוש. בהתאם לפירוק שלו בשיטת הספירה הבינארית. עכשיו מובן? מכיוון שיש לנו רק 1000 שקלים סה"כ, וצריך להגיע רק עד הסכום 1000, נעשה תיקון קטן על המעטפה האחרונה, כפי שעריסטו כתב. באמצעות 9 המעטפות הראשונות אפשר להגיע לכל סכום עד 511 (שזה 9 אחדים בשיטת הספירה הבינארית). עבור מספרים גדולים יותר, חייבים להשתמש במעטפה העשירית. אפשר, למשל, לחשוב כך: אם היו בה 512 שקלים, היינו מקבלים את כל המספרים מ-512 עד 1023. אבל מכיוון שחסרים בה 23 שקלים אלה, בדיוק אותן קומבינציות יתנו לנו מספרים ב-23 פחות. בהתחלה אנו בעצם חוזרים אחורנית, כלומר, מקבלים כמה מספרים בדרך שונה (מה שאינו סותר את תנאי החידה, שהיא בעצם קצת עודפת), אבל בסוף מגיעים עד 1000.

 

[גיא2123]

סורי... אני עדיין מסתבך עם זה...

אני לא מבין מה זה שיטת הספירה הבינארית... ? מה הולך פה? עכשיו הסתבכתי עוד יותר... סליחה שאני חופר, אבל חשוב לי להבין את זה

 

[avocumber]

הסבר דומה אבל טיפה שונה. ../images/Emo58.gif

כל פעם שאנחנו סוגרים מעטפה, אנחנו בודקים את סכום השקלים במעטפות הסגורות ובמעטפה הבאה שמים את המספר הראשון שאנחנו לא יכולים ליצור. אתה חייב ליצור את המספר 1. אז במעטפה הראשונה נשים שקל 1. 1 יש. 2 אין. במעטפה השניה נשים 2 שקלים. 1+2=3 אז עכשיו 4. או קיי, במעטפה השלישית נשים ארבעה שקלים. 1+2+4=7 אז במעטפה הרביעית נשים 8 שקלים. 1+2+4+8=15 במעטפה החמישית נשים 16 שקלים. וכו'. ובמעטפה האחרונה נשים את כל השקלים שנשארו לנו.

 

[JustAFriend]

../images/Emo6.gif יש 10 סוגי אנשים בעולם

אלה שמכירים את השיטה הבינארית

ואלה שלא

 

[alone66]

בינארי זה הכי אחי

 

[טלמון סילבר]

כל הכבוד לך, על

ההתעקשות להבין את הנושא, שהוא חדש עבורך ולא מוכר. בוא נשכח לרגע משיטת הספירה הבינארית, נחזור למעטפות, ונכתוב בצורה מפורטת יותר את מה שכתב לך עריסטו למטה. נתחיל מהמעטפה הראשונה, שיש בה 1 שקל. היא מספקת לנו 2 אפשרויות בדיוק: 1. לא לוקחים אותה - מקבלים סכום 0. 2. לוקחים אותה - מקבלים סכום 1. כנ"ל המעטפה השנייה שהנחנו בה 2 שקלים (לפי השיטה שהוצעה ע"י avocumber בהודעה מעל זו: המספר הראשון שעדין איננו יכולים לקבל). המעטפה השנייה מספקת לנו שתי אפשרויות בדיוק: 1. לא לוקחים אותה - מקבלים סכום 0. 2. לוקחים אותה - מקבלים סכום 2. השילוב של שתי המעטפות נותן לנו כבר 4 אפשרויות:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 2 + 0 = 2 2 + 1 = 3​

שוב, נשים במעטפה השלישית את המספר הראשון שעדין איננו יכולים לקבל, כלומר, את המספר 4. המעטפה השלישית נותנת לנו 2 אפשרויות: 1. לא לוקחים אותה - מקבלים 0. 2. לוקחים אותה - מקבלים 4. שילוב של 3 המעטפות הראשונות נותן לנו 8 אפשרויות:

0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 1 = 1 0 + 2 + 0 = 2 0 + 2 + 1 = 3 4 + 0 + 0 = 4 4 + 0 + 1 = 5 4 + 2 + 0 = 6 4 + 2 + 1 = 7​

עכשיו כבר רואים את השיטה, גם אם ניתן לה שם מסוים. כבר ברור, שלפי שיטה זו נשים במעטפה הרביעית 8, וכבר ברור, ששילוב של 4 המעטפות יתן לנו 16 אפשרויות, את כל המספרים מ-0 עד 15. אבל יש לזה הסבר לוגי, לא חייבים לכתוב עכשיו את כל 16 האפשרויות! אם לא ניקח את המעטפה הרביעית, אז פשוט נקבל את 8 הקומבינציות האפשריות של 3 המעטפות הראשונות, הנותנות את כל המספרים מ-0 עד 7. אם ניקח את המעטפה הרביעית עם ה-8, אז 3 המעטפות הראשונות יתנו לנו את אותן 8 האפשרויות, כלומר את כל המספרים מ-0 עד 7, שביחד עם ה-8 נותן לנו בדיוק את כל המספרים מ-8 עד 15. אפשר לכתוב את זה "בצורה מתמטית", עם "2 בחזקת n" ועם אינדוקציה, אבל זה יהיה בדיוק אותו הרעיון. עכשיו קצת על שיטת הספירה הבינארית (משהו שבכל מקרה כדאי להכיר - עובדה, שכל מי שמכיר אותה, מבין מייד את פתרון החידה הנ"ל!) נחזור, לדוגמה, ל-8 האפשרויות שנותנות לנו שלוש המעטפות:

0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 1 = 1 0 + 2 + 0 = 2 0 + 2 + 1 = 3 4 + 0 + 0 = 4 4 + 0 + 1 = 5 4 + 2 + 0 = 6 4 + 2 + 1 = 7​

ננסה עכשיו לכתוב בדיוק אותו דבר, אבל בצורה מקוצרת יותר - הרי בעצם, האפשרויות שונות זו מזו בהתאם לכך, אם אנו לוקחים או לא לוקחים מעטפה מסוימת. בדיוק שתי אפשרויות לגבי כל מעטפה. אז נסמן בסִפרה "1" את האפשרות "לוקחים", ונסמן בסִפרה "0" את האפשרות "לא לוקחים", וכך לגבי כל מעטפה, אז סה"כ אפשר לתאר את הבחירה לגבי 3 מעטפות - באמצעות 3 ספָרות של 0 או אחד. תהי הסִפרה השמאלית ביותר - תיאור הבחירה לגבי המעטפה עם 4 שקלים, תהי הספרה האמצעית - תיאור הבחירה לגבי המעטפה עם 2 שקלים, תהי הספרה הימנית ביותר - תיאור הבחירה לגבי המעטפה עם 1 שקל. עכשיו, אותן 8 האפשרויות נראות כך:

000 = 0 001 = 1 010 = 2 011 = 3 100 = 4 101 = 5 110 = 6 111 = 7​

ובכן, בטור הימני רשמנו מספרים מסוימים בשיטה העשרונית הרגילה, ובטור השמאלי רשומים בדיוק אותם המספרים ב...שיטת הספירה הבינארית [גם כאן לא חייבים לכתוב אפסים מובילים. למשל, במקום 001 אפשר לכתוב פשוט 1] איך עובד מד-מרחק במכונית (נדבר על מתמטיקה בלבד, בלי הפיזיקה)? יש שורה של גלגלים, לכל גלגל יש 10 מצבים, שמראים לנו אחת מתוך 10 ספָרות אפשריות: מ-0 עד 9. נניח שמד-המרחק מאופס: כל הגלגלים מראים אפסים. כל פעם שאנחנו עוברים 1 יחידת מרחק, הגלגל הימני עובר לספרה הבאה, ושאר הגלגלים נשארים ללא שינוי, עד שהגלגל הימני, הראשון, מבצע סיבוב שלם, כלומר, עובר מ-9 ל-0, ואז הגלגל השני עולה בספרה אחת. וכל פעם שאחד הגלגלים מסיים סיבוב שלם, כלומר, עובר מ-9 ל-0, הגלגל הבא עולה בספרה אחת. נניח, ששלושת הגלגלים הראשונים (הימניים) מראים 999, ושאר הגלגלים מראים אפסים. מה יקרה כשנעבור 1 יחידת מרחק נוספת? הגלגל הימני ישלים את הסיבוב שלו ויתאפס, ואז הגלגל השני יתקדם בספרה אחת, ובכך גם הוא ישלים את סיבובו ויחזור ל-0, ואז גם הגלגל השלישי מימין יתקדם בספרה אחת, וגם הוא ישלים את סיבובו ויחזור ל-0, מה שייאלץ גם את הגלגל הרביעי להתקדם ב-1, ולעבור מ-0 ל-1, ומצב המונה יהיה עכשיו: 0001000. למה אני מספר את כל זה? כי פעם אחת יצאה מכונית חדשה עם שני מדי-מרחק. האחד בדיוק כמו שתיארנו לעיל, אבל השני מיוחד במינו! במד-מרחק השני יש בכל מעגל שני מצבים בלבד! הוא מציג רק שתי ספָרות: 0 ו-1! אחרי 1 הוא שוב חוזר ל-0, וכך כל הזמן. אבל הוא פועל בדיוק כמו המד-מרחק הראשון, לפי אותו הפרינציפ: כל פעם שגלגל כלשהו מסיים סיבוב שלם (וזה יהיה יותר מהיר מאשר במונה הרגיל, העשרוני), אז הוא מקדם גם את הגלגל הבא - בספרה אחת. אם נחזור שוב לטבלה האחרונה של שמונת המספרים מ-0 עד 7, נראה שהעמודה השמאלית מתארת בעצם את שמונת המצבים של המונה הבינארי, בזמן שהטור הימני מציג את המצבים המקבילים של המונה הרגיל, העשרוני. כל פוזיציה שמראה המונה הרגיל, העשרוני, מתאימה לחזקה מסוימת של 10: הימני מראה אחדוֹת, הבא מראה עשרוֹת, הבא מראה מאות, אחריו אלפים, וכו'. לעומתו, כל פוזיציה של המונה הבינארי מתאימה לחזקה מסוימת של 2 (החל מימין): 1, 2, 4, 8, 16, . . . בכל פוזיציה עשרונית יש 10 אפשרויות: יכולות להיות, למשל, 0 מאות, מאה 1, 2 מאות, 3 מאות, . . ., או 9 מאות. אבל לכל פוזיציה בינארית יכולים להיות רק שני מצבים: "כן", או "לא".

 

[טלמון סילבר]

חידה נוספת באותו נושא.

צריך לבחור 3 משקולות, שבעזרתן אפשר יהיה לשקול במשקל מאזניים כל משקל מ-1 גרם עד 13 גרם. עכשיו המספרים 1,2,4, לפי הפרינציפ של חידת המטבעות, אינם מתאימים, כי הם אינם מאפשרים להגיע לסכום גדול מ-7. אבל, אם בחידת המעטפות היו לגבי כל מעטפה שתי אפשרויות בלבד, לקחת אותה או לא לקחת אותה, מה שהיווה רמז ישיר לשיטת הספירה הבינארית, הרי עכשיו יכולים להיות לכל משקולת 3 אפשרויות: 1. להשתמש בה לשקילת המשקל הדרוש. 2. לא להשתמש בה. 3. להניח אותה על אותה הכף של הנשקל! שזה אומר "לקחת אותה עם מינוס". מכאן מתקבל רמז ישיר לכיוון שיטת הספירה על בסיס 3, ואכן קל להיווכח שהמשקולות 1,3,9 פותרות את הבעייה [למשל, אם מניחים בכף אחת את המשקולת 9, ובכף השנייה את 1, נוכל לשקול משקל של 8]. למעשה, מבחינה "מתמטית טהורה", מופשטת, אנו יכולים כאילו "לשקול" 13 "משקלים" נוספים, ממינוס 1 עד מינוס 13, אם נניח את הנשקל בכף ה..."שלילית". נוסיף לכך את המשקל 0, ונקבל סה"כ 27 משקלים שונים, שזה 3 בחזקת 3. כנ"ל, 4 משקולות של 1,3,9,27 מאפשרות לנו לקבל 81 משקלים שונים (3 בחזקת 4), ממינוס 40 עד 40.

 

[carlos22]

תשובה

1 3 9 אותו רעיון בבסיס 3

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif

 

[גיא2123]

עדיין לא מבין

הבנתי שיש כאן סדרה עולה פי2, אני לא מבין למה דווקא הסדרה הזאת, למה דווקא המספרים האלה הם הפתרון? איך הייתי אמור להגיע לזה מבלי לבדוק עשרות פעמים כל מספר? אם אפשר לגלות לי את התשובה באמת חח... זה מהבוקר לא יוצא לי מהראש, בבקשה, בבקשה..

 

[slallum]

ובכן../images/Emo58.gif

אם תסתכל על המספרים האלה, אתה יכול ליצור בעזרתם כל מספר עד 1023. למה? את 0 קל ליצור. לא שמים שום מעטפה. את 1 קל ליצור - מעטפה של שקל. את 2 גם - שמים את המעטפה של ה-2 שקל. את 3 גם - לוקחים את 2 המעטפות האחרונות. את 4 גם - יש לנו מעטפה בשביל זה. איך תיצור את 5? תיקח את מעטפה 1 ואת מעטפה 4. את 6? תוריד את מעטפה 1 ותשים את 2. את 7? תוסיף את 1. ככה אתה ממשיך, ותשים לב שאתה יכול ליצור ככה כל מספר עד 1023 - שם אתה שם את כל המעפות שיש לך. (בהנחה שלווינו קצת כסף) ההגיון מאחורי התשובה - אממ אפשר להגיד שבסיס בינארי זה ההגיון - בסיס שיש בו רק את הספרות 0 ו-1. ואז סופרים ככה: 1 - 1 10 - 2 11 - 3 100 - 4 101 - 5 110 - 6 111 - 7 וכן הלאה. מקווה שהבנת ;] אז תחשוב שבעצם כל מיקום של ספרה בבסיס הבינארי הוא מעטפה. המיקום הראשון הוא מיקום מספר 0 - שזה 2 בחזקת 0 - 1. המיקום השני הוא מיקום מספר 1 - שזה 2 בחזקת 1 - 2. המיקום השני הוא מיקום מספר 2 - שזה 4. מספר 3 - זה 8. ובכן, לדאבוני נתקעתי קצת בהסבר, אבל אתה מבין בערך את ההגיון מאחורי זה? כל פעם אתה "מוסיף" מעטפה או "מוריד" מעטפה לפי הצורך ;]

 

[עריסטו]

או כך

אם הבחירה שלך היא לקחת את המעטפה הראשונה או לא לקחת אותה, אתה יכול לקבל 0 שקלים או 1 שקלים. כאשר אתה מצרף את המעטפה השניה, זה מוסיף 2 שקלים, זאת אומרת שבעזרת שתי המעטפות הראשונות אתה יכול לקבל 0, 1,2 או 3 שקלים. וכך הלאה: הבחירה האם לקחת את המעטפה השלישית או לא היא בעצם בחירה האם להוסיף 4 שקלים לכל אחד מהסכומים הנ"ל, כלומר בעזרת שלושת המעטפות הראשונות אתה יכול לקבל את הסכומים 0,1,2,3 (אם לא תיקח את המעטפה השלישית) או 4,5,6,7 שקלים. וכך הלאה...