חידה מטמטית - עכבר במעגל -

[Tukon]

חידה מטמטית - עכבר במעגל -

במרכז מעגל שקוטרו 1 מטר עומד כעבר. חתול רעב קשור לשפת המעגל, הוא אינו יכול להיכנס או להתרחק מהמעגל. אך, הוא יכול לנוע על שפת המעגל כרצונו. מהירות החתול 3.5 מ/שנ מהירות העכבר 1 מ/שנ האם העכבר יכול לברוח מהמעגל מבלי ל"פגוש" את החתול הרעב?

 

[neko]

גאומטריה בסיסית:

העכבר לא יכול לברוח, כי אם קוטר המעגל 1, הרי שהיקפו PI, ובחצי השניה שהעכבר עובר מהמרכז לקצה, החתול יכול תמיד לכסות את חצי המעגל בריצה ולחכות לו.

 

[Tukon]

העכבר יכול לברוח

 

[neko]

אם הייתי רוצה להראות שהוא בורח,

הייתי אומר שילך לצד אחד, ומייד כשהחתול כמעט תופס אותו ירוץ לצד השני. אבל אם הוא רץ 1 מטר, החתול צריך לרוץ חצי היקף המעגל, שזה חצי PI, ואת זה הוא יכול לעשות הרבה יותר מהר ממה שהעכבר רץ מטר 1.

 

[לאלזייןבשכל]

הממ.. למישהו יש נוסחה לחישוב קשת?

אבל הנה הפתרון, אני חושבת, למרות שעוד חסרות לי הוכחות. העכבר יתחיל לרוץ על הרדיוס בכיוון ההפוך מהחתול, בינתיים החתול יתחיל לרוץ לכיוונו, באמצע הדרך, אחרי 0.25 מטר, העכבר יעשה פניה של 90 מעלות וימשיך לרוץ החוצה מהמעגל, בכיוון ההפוך ממנו החתול מגיע לתפוס אותו. עכשיו לעכבר נותר רק 0.25 מטר, שהוא יספיק ב 0.25 שניות, אך הקשת שנותרה לחתול גדולה בהרבה, ואם היא גדולה מ 0.875 מטר (מה שהחתול מכסה ב0.25 שניה), העכבר יצליח לברוח.

 

[לאלזייןבשכל]

הממ.. אולי לא

הדרך שנותרה לעכבר כשהוא פונה היא יותר מחצי רדיוס.

 

[Tukon]

הדרך שלך נכונה

אבל, יש טעות בנתונים שלי הקוטר צריך להיות 2מ ולא 1מ בעקרון אם העכבר ירוץ תמיד לכיוון נגדי לחתול הוא יוכל לגבור על חתול שמהירותו אפילו גבוהה מ 3.5 מ/שנ לצורך השלמת התשובה שלך אני אשתמש בתיקון - הכעבר ירוץ חצי מטר ולאחר מיכן יפנה 60 מעלות המרחק שנותר להיכף הוא חצי מטר ונקודת היציאת העכבר על ההיקף תהיה 3.6 מטר מנקודת יציאת החתול (210 מעלות) סה"כ משך הזמן יהיה שניה ואותה שניה ינוע החתול 3.5 מטר

 

[shuval3]

אבל NEKO צודק

אפילו אם העכבר ירצה לרוץ בכיוון הנגדי לחתול זה לא אומר שהחתול יתן לו הוא מן הסתם יעקוב אחריו ובכל מקרה לא משתמע מהנתונים ההתחלתים שנתת שהעכבר יכול לנוע בתוך המעגל כי אחרת אפשר פשוט להגיד שהעכבר יתקדם עד ל1ממ מהקו כשהחתול בצד שני ואז הוא בטוח יברח. הרעיון הוא שהחתול בכל מקרה יבחר בנקודה הכי קרובה לעכבר ובמצב הזה אין לעכבר סיכוי לברוח

 

[shuval3]

קבל ביטול להודעה

 

[Tukon]

התשובה שלי נכונה גאומטרית

העכבר ישאף תמיד למקסם את המרחק מהחתול המצב ההתחלתי בו העכבר במרכז הוא מצב אופטימאלי לעכבר לכן העכבר יתחיל מהמצב הזה בו הוא במרחק מקסימאלי של 1מ מהחתול מסלול הבריחה של העכבר הוא אליפטי בגלל שהוא תמיד ב 180 מעלות לחתול שנע במסלול מעגלי. כיוון שחישוב המסלול המדויק הוא מאוד מסובך התמקדתי בהוכחה שהבריחה אפשרית. נתתי דוגמא בה העכבר יוצא תוך שניה אחת בנקודה 210 מעלות (יחסית למיקום החתול בתחילה) על ההיקף. דמיין מעגל שמרכזו בראשית הצירים - מצב התחלתי: חתול בנקודה (X,Y) 1,0 והעכבר בנקודה 0,0 העכבר נע עד נקודה 0 , 0.5- שם פונה בזוית של 60 מעלות וממשיך כך עד ליציאה מהמעגל (עוד חצי מטר) לעכבר לקח 1ש כי בס"ה הוא רץ 1מ החתול ינוע 3.5 מ באותה שניה (שזה בערך 36סמ אחרי חצי המעגל) אך העכבר יצא באזור ה- 3.6מ (210 מעלות) לכן העכבר י ב ר ח

 

[shuval3]

החישוב שלך שגוי

הדרך נכונה אבל אחרי שעשה סיבוב ב90 מעלות ישארו לו יותר מ0.25מ ציירי ותיוכחי

 

[לאלזייןבשכל]

כן, חבל רק שתיקנתי את עצמי

שלושה ימים לפניך. קרא את הודעתי והיוכח..

 

[mm130]

זה די פשוט.

המצב הקיצוני ביותר הוא שהעכבר נמצא במרכז המעגל, ורץ בדיוק לכיוון ההפוך מכיוונו של החתול. כך לחתול יש ריצה של חצי היקף- PR במהירות 3.5- כלומר PR\3.5 בעוד לעכבר יש רדיוס במהירות 1, כלומר R. מכיוון שP קטן מ3.5, העכבר יכול לברוח.

 

[mm130]

ככל הנראה לא

עמכם הסליחה