חידה מתמטית עם עשרה סעיפים

[עריסטו]

חידה מתמטית עם עשרה סעיפים../images/Emo70.gif

צריך לפתור את הסעיפים לפי הסדר, כי יש כאלה שהפתרון שלהם נובע מהפתרון של הקודמים.

לא חייבים לכתוב כאן תשובות לכל הסעיפים; מספיק לכתוב את התשובה לסעיף האחרון. אבל כדי למצוא את התשובה לסעיף האחרון צריך לפתור את כל הסעיפים הקודמים.

---------------------------------------------------------------- יהי p מספר ראשוני מהצורה 4n+1, כאשר n מספר שלם. נגדיר קבוצה S כך: S הוא קבוצת כל השלשות הסדורות (x,y,z) של מספרים טבעיים המקיימות x^2+4yz=p. נגדיר פונקציה f על איברי S, כך: התמונה של (x,y,z) היא - (x+2z, z, y-x-z), אם x<y-z; (2y-x, y, x-y+z), אם y-z<x<2y; (x-2y, x-y+z, y), אם x>2y. נגדיר פונקציה g על איברי S, כך: התמונה של (x,y,z) היא (x,z,y). א. הראו שהפונקציה f מוגדרת היטב, כלומר כל איבר של S מתאים בדיוק לאחת משלושת האפשרויות בפונקציה. ב. יהי a איבר של S, ויהי f(a)=b. עבור אילו a גם b הוא איבר של S? ג. יהי a איבר של S, ויהי f(a)=b ו - f(b)=c. מה הקשר בין a ל-c? ד. מיצאו את מספר האיברים של S עבורם מתקיים f(a)=a. ה. הראו ש-S קבוצה סופית. ו. מה ניתן לומר על מספר האיברים של S? האם הוא זוגי או אי-זוגי? ז. יהי a איבר של S, ויהי g(a)=b. עבור אילו a גם b הוא איבר של S? ח. יהי a איבר של S, ויהי g(a)=b ו - g(b)=c. מה הקשר בין a ל-c? ט. האם קיים איבר a של S כך ש - g(a)=a? י. מה ניתן להסיק בקשר למספר p?