חידה מתמטית קלה

[1אברהם]

חידה מתמטית קלה

נתונים n מספרים ממשיים y1 y2 y3 y4 ....yn יש למצוא את ה x שנותן מינימום לפונקציה הבאה

f(x) = ∑(yi-x)² i=1,2,3 ....n​

 

[עריסטו]

../images/Emo62.gif + חידת המשך

הממוצע של ה - y - ים. הכללה - אם נתונות n נקודות במישור או במרחב, הנקודה שסכום ריבועי מרחקיה מהנקודות הנתונות הוא מינימלי היא מרכז הכובד שלהן. חידת המשך - נתונים n מספרים ממשיים y1 y2 y3 y4 ....yn יש למצוא את ה x שנותן מינימום לפונקציה הבאה

f(x) = ∑|yi-x| i=1,2,3 ....n​

אפשר לחקור את השאלה הכללית - למצוא את ה x שנותן מינימום לפונקציה הבאה

f(x) = ∑|yi-x|^t i=1,2,3 ....n​

כאשר t פרמטר. מה קורה כאשר t שואף לאינסוף?

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

לגבי השאלה הראשונה של למצוא נקודת מינימום ל f(x) = ∑|yi-x| i=1,2,3 ....n נמין את כל ה y על ציר המספרים משמאל לימין . נסתכל על כל זוג נקודות קיצוניות, זוג ראשון יהיה הקיצונית משמאל והקיצונית מימין, זוג שני יהיה הנקודה השניה לפני הסוף מימין ומשמאל וכך הלאה. אם יש מספר אי זוגי של נקודות תהיה לנו נקודה באמצע ללא בן זוג. סכום מרחקיה המוחלטים של נקודה x מ כל זוג כזה יהיה מינימלי וקבוע אם ורק אם הנקודה x נמצאת בתוך הקטע שמוגדר על ידי זוג כזה. מסקנה: הנקודה x צריכה להיות בקטע של הזוג הפנימי ביותר ואם מספר הנקודות y הוא אי זוגי x צריך להיות שווה לנקודה באמצע.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[1אברהם]

לגבי המיקרה ש t שואף לאינסוף

אז יש למצוא מינימום לפונקציה g הבאה

g(x) = max ( |yi-x| ) i=1,2,3 ....n​

וזה יקרה עבור

x= ( min(yi) + max(yi) ) /2​

כלומר x צריך להיות הממוצע של ה y המכסימלי ו y המינימלי.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[גיל14]

רגע....

זה לא עבור שורש מסדר t של הביטוי הזה? אם יש שני איברים שהמרחק ביניהם גדול או שווה ל-2, הביטוי כפי שהוא נכתב הוא אינסוף לכל x.

 

[1אברהם]

נכון

צריך לדבר על הפונקציה

f(x) = ( ∑|yi-x|^t )^(1/t) i=1,2,3 ....n​

אז מובטח לנו שהפונקציה חסומה עבור x נתון כש t שואף לאינסוף ובעצם הפונקציה שואפת ל zzz max(|yi-x|) zzz

 

[גיל14]

../images/Emo127.gif