חידה : F( 1111^1111 )

[הפרבולה1]

נגדיר פונקציה F שמקבלת מספר טבעי ומחזירה את סכום ספרותיו בהצגה עשרונית בתחום 1....9 ( אם הסכום גדול מ 9 אז מסכמים את ספרותיו של הסכום שוב ושוב עד שמקבלים תוצאה בתחום 1...9 )

למשל F(789) = F(24)=6

חשבו את :
? = F( 1111^1111 )

 

[עריסטו]

נגדיר פונקציה F שמקבלת מספר טבעי ומחזירה את סכום ספרותיו בהצגה עשרונית בתחום 1....9 ( אם הסכום גדול מ 9 אז מסכמים את ספרותיו של הסכום שוב ושוב עד שמקבלים תוצאה בתחום 1...9 )

למשל F(789) = F(24)=6

חשבו את :
? = F( 1111^1111 )

F(x) = (x - 1) MOD 9 + 1
צריך רק לחשב את 1111^1111 מודולו 9
זה שווה ל- 1111^4 מודולו 9
ומכיוון ש-3^4 שווה 1 מודולו 9, 1111^4 שווה ל-4 מודולו 9
ולכן התשובה היא 4.
אפשר גם לשאול את wolfram alpha:

sum of digits of 1111^1111 - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

האתר טוען שסכום הספרות הוא 15466, אחרי שמסכמים שוב מקבלים 22 ואחרי שמסכמים שוב מקבלים 4.

 

[עריסטו]

F(x) = (x - 1) MOD 9 + 1
צריך רק לחשב את 1111^1111 מודולו 9
זה שווה ל- 1111^4 מודולו 9
ומכיוון ש-3^4 שווה 1 מודולו 9, 1111^4 שווה ל-4 מודולו 9
ולכן התשובה היא 4.
אפשר גם לשאול את wolfram alpha:

sum of digits of 1111^1111 - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

האתר טוען שסכום הספרות הוא 15466, אחרי שמסכמים שוב מקבלים 22 ואחרי שמסכמים שוב מקבלים 4.

הנה המספר 1111^1111

614213677620841231318558872403334094191059602818228212589751194698317611572942856379753025734375108019330836900739786906490081990431082175890972912103376055996807088803026220224904190225973815345709824495169145103158466990300245979397155793773953238880262175229624144165684304374472301848804526047178040113084590528342238004709578339671113020300343661143237973230568779510246848415736829223854838238502418040675412216360578172737794164888700819598005375051611621351626728008906241663927945969919320270437716892278482276857051169382491019332949980948400990703166277590842544043865103326037437621595913564342833771667390603999216987988594849389612456835216114969601190502612063194665919420703594913644427710744621507427929519703630366056421069320620820898583836324342894627268637224689554435778532210218339733736787416114353697080359272839895268701983612759707360597802048482040354947935210615764393322412072777285536344529438772049102787913917715836910807411554701022917318306710662389061037342640510716451949425109792241919324811782946872729639218094660368047554608132657926073004660295553959712588396829321864332328684049364832503188945288182561550753605330726722328638542930291034806507738871025982820875729369609939126065579811809347500454461172954692718257985228007466534613874186387594700839327059787221616727382854614451215608333663711684868918696959501230096339042465630650728320218812527851089314120181664469563527098406698937779858354334886900994603200732628027953210631837274669088841929324117785809549388886418149352368190594513135751105671413532274096022046374248869477131610246588369494983737989138180182995604958145077812462410709980439806079527094347197367640662855174664377349842181820787662827644026687734984416351073832825983065487618790637790740082743384554485363490047817084443089560990550638393775337653709235585274269224434963619625667861065892920484914914574268750972275416254599767815083112679326319103504536901309266007195990891357585232303889264036872857004142000617685261256723404309799096709451893688514213978894390507821707261982910759615867040892854689429632908327021960534819694753216140447188230798790226733977376996751825641291685308767421843339391982046085175602766067144202619546214006165950190929391091121067739049094567066652498851791248587267878277568977342221168898283781277473990190565448209629856777732545294603204127325972996776935363235343440349158246872482413426843422894059752020731354476335322756423721338063937757766602684638177454108192274607323934627205770736640540136258888303677170549074110508223866652851704583735291731344808979579495707394951933116831398305462020259480995901554069315560256428910902009231828319378033352353884968936419623351748682863949292620492937234890675180987772011646922000692813632504436399291546310498472081579759389761585912024831753817126583907823167845631075745706520732650027423619459894632484726330450774326269486560276445933085982584166108456847649149348498256661165036468371810792515485140176716946193766054838138576557646304999996830077821778473577467053865850455855971199516012603280869717731148097023450294453875321736703780814598014214821895196067429965835118507716548634006291432332781482946988439499496452464347574527858759677852929786900897323924391208395902756597817631008994802752495590886907935573962902257945742454753304612688266071499409635761845587764462387312374183852372445899764268711

 

[הפרבולה1]

הנה המספר 1111^1111

614213677620841231318558872403334094191059602818228212589751194698317611572942856379753025734375108019330836900739786906490081990431082175890972912103376055996807088803026220224904190225973815345709824495169145103158466990300245979397155793773953238880262175229624144165684304374472301848804526047178040113084590528342238004709578339671113020300343661143237973230568779510246848415736829223854838238502418040675412216360578172737794164888700819598005375051611621351626728008906241663927945969919320270437716892278482276857051169382491019332949980948400990703166277590842544043865103326037437621595913564342833771667390603999216987988594849389612456835216114969601190502612063194665919420703594913644427710744621507427929519703630366056421069320620820898583836324342894627268637224689554435778532210218339733736787416114353697080359272839895268701983612759707360597802048482040354947935210615764393322412072777285536344529438772049102787913917715836910807411554701022917318306710662389061037342640510716451949425109792241919324811782946872729639218094660368047554608132657926073004660295553959712588396829321864332328684049364832503188945288182561550753605330726722328638542930291034806507738871025982820875729369609939126065579811809347500454461172954692718257985228007466534613874186387594700839327059787221616727382854614451215608333663711684868918696959501230096339042465630650728320218812527851089314120181664469563527098406698937779858354334886900994603200732628027953210631837274669088841929324117785809549388886418149352368190594513135751105671413532274096022046374248869477131610246588369494983737989138180182995604958145077812462410709980439806079527094347197367640662855174664377349842181820787662827644026687734984416351073832825983065487618790637790740082743384554485363490047817084443089560990550638393775337653709235585274269224434963619625667861065892920484914914574268750972275416254599767815083112679326319103504536901309266007195990891357585232303889264036872857004142000617685261256723404309799096709451893688514213978894390507821707261982910759615867040892854689429632908327021960534819694753216140447188230798790226733977376996751825641291685308767421843339391982046085175602766067144202619546214006165950190929391091121067739049094567066652498851791248587267878277568977342221168898283781277473990190565448209629856777732545294603204127325972996776935363235343440349158246872482413426843422894059752020731354476335322756423721338063937757766602684638177454108192274607323934627205770736640540136258888303677170549074110508223866652851704583735291731344808979579495707394951933116831398305462020259480995901554069315560256428910902009231828319378033352353884968936419623351748682863949292620492937234890675180987772011646922000692813632504436399291546310498472081579759389761585912024831753817126583907823167845631075745706520732650027423619459894632484726330450774326269486560276445933085982584166108456847649149348498256661165036468371810792515485140176716946193766054838138576557646304999996830077821778473577467053865850455855971199516012603280869717731148097023450294453875321736703780814598014214821895196067429965835118507716548634006291432332781482946988439499496452464347574527858759677852929786900897323924391208395902756597817631008994802752495590886907935573962902257945742454753304612688266071499409635761845587764462387312374183852372445899764268711

יופי, עכשיו אפשר לסכם את הספרות ידנית כדי לבדוק אם באמת יוצא 15466 כמו ש Wolfram טוען ....

 

[עריסטו]

יופי, עכשיו אפשר לסכם את הספרות ידנית כדי לבדוק אם באמת יוצא 15466 כמו ש Wolfram טוען ....

אם לא סומכים על הסכום ש-wolfram נותן, למה לסמוך על המספר 1111^1111? גם אותו חישבתי ב-wolfram. צריך לחשב גם את 1111^1111 ידנית, או לבקש מעצבר לבנות מכשיר (חזקן) שיחשב את 1111^1111. הוא יגלה שהתוצאה תלויה בצבע בו כתובות הספרות.

 

[Lucifer LightBringer]

הנה המספר 1111^1111

614213677620841231318558872403334094191059602818228212589751194698317611572942856379753025734375108019330836900739786906490081990431082175890972912103376055996807088803026220224904190225973815345709824495169145103158466990300245979397155793773953238880262175229624144165684304374472301848804526047178040113084590528342238004709578339671113020300343661143237973230568779510246848415736829223854838238502418040675412216360578172737794164888700819598005375051611621351626728008906241663927945969919320270437716892278482276857051169382491019332949980948400990703166277590842544043865103326037437621595913564342833771667390603999216987988594849389612456835216114969601190502612063194665919420703594913644427710744621507427929519703630366056421069320620820898583836324342894627268637224689554435778532210218339733736787416114353697080359272839895268701983612759707360597802048482040354947935210615764393322412072777285536344529438772049102787913917715836910807411554701022917318306710662389061037342640510716451949425109792241919324811782946872729639218094660368047554608132657926073004660295553959712588396829321864332328684049364832503188945288182561550753605330726722328638542930291034806507738871025982820875729369609939126065579811809347500454461172954692718257985228007466534613874186387594700839327059787221616727382854614451215608333663711684868918696959501230096339042465630650728320218812527851089314120181664469563527098406698937779858354334886900994603200732628027953210631837274669088841929324117785809549388886418149352368190594513135751105671413532274096022046374248869477131610246588369494983737989138180182995604958145077812462410709980439806079527094347197367640662855174664377349842181820787662827644026687734984416351073832825983065487618790637790740082743384554485363490047817084443089560990550638393775337653709235585274269224434963619625667861065892920484914914574268750972275416254599767815083112679326319103504536901309266007195990891357585232303889264036872857004142000617685261256723404309799096709451893688514213978894390507821707261982910759615867040892854689429632908327021960534819694753216140447188230798790226733977376996751825641291685308767421843339391982046085175602766067144202619546214006165950190929391091121067739049094567066652498851791248587267878277568977342221168898283781277473990190565448209629856777732545294603204127325972996776935363235343440349158246872482413426843422894059752020731354476335322756423721338063937757766602684638177454108192274607323934627205770736640540136258888303677170549074110508223866652851704583735291731344808979579495707394951933116831398305462020259480995901554069315560256428910902009231828319378033352353884968936419623351748682863949292620492937234890675180987772011646922000692813632504436399291546310498472081579759389761585912024831753817126583907823167845631075745706520732650027423619459894632484726330450774326269486560276445933085982584166108456847649149348498256661165036468371810792515485140176716946193766054838138576557646304999996830077821778473577467053865850455855971199516012603280869717731148097023450294453875321736703780814598014214821895196067429965835118507716548634006291432332781482946988439499496452464347574527858759677852929786900897323924391208395902756597817631008994802752495590886907935573962902257945742454753304612688266071499409635761845587764462387312374183852372445899764268711

מופיעה במספריאדה הזו כל ההיסטוריה של הפורום מתמטיקה בתפוז...

 

[הפרבולה1]

F(x) = (x - 1) MOD 9 + 1
צריך רק לחשב את 1111^1111 מודולו 9
זה שווה ל- 1111^4 מודולו 9
ומכיוון ש-3^4 שווה 1 מודולו 9, 1111^4 שווה ל-4 מודולו 9
ולכן התשובה היא 4.
אפשר גם לשאול את wolfram alpha:

sum of digits of 1111^1111 - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

האתר טוען שסכום הספרות הוא 15466, אחרי שמסכמים שוב מקבלים 22 ואחרי שמסכמים שוב מקבלים 4.

נכון

 

[עריסטו]

wolfram גם יודע לחשב ביטויים מהצורה a^b mod c בצורה חכמה (בלי לחשב קודם את a^b):

1234^12345678901234567890 mod 1111 - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

 

[הפרבולה1]

wolfram גם יודע לחשב ביטויים מהצורה a^b mod c בצורה חכמה (בלי לחשב קודם את a^b):

1234^12345678901234567890 mod 1111 - Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha brings expert-level knowledge and capabilities to the broadest possible range of people—spanning all professions and education levels.

www.wolframalpha.com

אפשר לחשב את a^b mod c על ידי כפל b פעמיים אבל אחרי כל פעולת כפל עושים מודולו c וככה פעולת הכפל היא במספרים קטנים יותר

 

[עריסטו]

אפשר לחשב את a^b mod c על ידי כפל b פעמיים אבל אחרי כל פעולת כפל עושים מודולו c

יותר יעיל לחשב את a, a^2, a^4, a^8, a^16,... מודולו c (כל איבר בסדרה הוא ריבוע האיבר הקודם) ולכפול את האיברים המתאימים, למשל כדי לחשב את a^100 נחשב a^64 * a^32 * a^4. חישוב מהיר של a^b MOD c נחוץ עבור הצפנת RSA.