חידונת: משושה משוכלל "חסום חלקית" בפרבולה.

[בחשכת הלילה]

ארבעה קודקודים סמוכים ("עוקבים") של משושה משוכלל נמצאים על הַפָּרָבּוֹלָה y=x². האם יתכן שאף אחת מצלעות המשושה אינה מקבילה לציר x ?

 

[עריסטו]

זה לא יתכן.
אם הקדקודים הם (לפי הסדר):
A (a,a^2)
B (b, b^2)
C (c, c^2)
D (d, d^2)
אז AD||BC ולכן ל-AD ול-BC שיפועים שווים, כלומר a+d=b+c או a-b=c-d. לכן לצלעות AB ו-CD יש היטלים שווים על ציר x. אורכי הצלעות הללו שווים ולכן יש להן גם היטלים שווים על ציר y. כלומר AB ו-CD סימטריות זו לזו יחסית לציר y ולכן BC מקבילה לציר x.

 

[בחשכת הלילה]

זה לא יתכן.
אם הקדקודים הם (לפי הסדר):
A (a,a^2)
B (b, b^2)
C (c, c^2)
D (d, d^2)
אז AD||BC ולכן ל-AD ול-BC שיפועים שווים, כלומר a+d=b+c או a-b=c-d. לכן לצלעות AB ו-CD יש היטלים שווים על ציר x. אורכי הצלעות הללו שווים ולכן יש להן גם היטלים שווים על ציר y. כלומר AB ו-CD סימטריות זו לזו יחסית לציר y ולכן BC מקבילה לציר x.

הישר, העובר דרך אמצעי שני הבסיסים של טרפז שווה-שוקיים, מאונך לבסיסים.
מאידך, "כידוע", אמצעי מיתרים מקבילים של פרבולה מונחים על ישר, המקביל לציר הסימטריה של אותה פרבולה.

(כפי שקיבלתָ: a+d=b+c, ומכאן:
zzz (a+d)/2=(b+c)/2 zzz
כלומר, הישר העובר דרך אמצעי שני הבסיסים של הטרפז אכן מקביל לציר y)

ולכן הבסיסים עצמם מקבילים לציר x.

 

[AnarchistPhilosopher]

@בחשיכת הלילה לא ידעתי שלפרבולה יש מיתרים, מיתרים מוגדרים על מעגל.

זה אולי nitpicking, אני לא מומחה בנושא של גיאומטריה אנליטית אבל יש את הספר הכתום בגיאומטריה אנליטית של בני גורן ל-5 יח"ל שיכול להיות שהשאלה מופיעה שם ללא פיתרון.

 

[בחשכת הלילה]

@בחשיכת הלילה לא ידעתי שלפרבולה יש מיתרים, מיתרים מוגדרים על מעגל.

זה אולי nitpicking, אני לא מומחה בנושא של גיאומטריה אנליטית אבל יש את הספר הכתום בגיאומטריה אנליטית של בני גורן ל-5 יח"ל שיכול להיות שהשאלה מופיעה שם ללא פיתרון.

1. איךך אתה מתרגם לעברית את הכותרת "Midpoints of parallel chords" של הסרטוט הזה https://en.wikipedia.org/wiki/Parabola#/media/File:Parabel-psehnen-s.svg ?
2. לא הבנתי, בשביל מה אנחנו צריכים כאן את הספר שהזכרתָ?

 

[AnarchistPhilosopher]

1. איךך אתה מתרגם לעברית את הכותרת "Midpoints of parallel chords" של הסרטוט הזה https://en.wikipedia.org/wiki/Parabola#/media/File:Parabel-psehnen-s.svg ?
2. לא הבנתי, בשביל מה אנחנו צריכים כאן את הספר שהזכרתָ?

נתחיל מהסוף להתחלה כיאה למתמטיקאי.
2. פשוט זכור לי כשלמדתי בתיכון הסתבכתי עם איזו שאלה משם אז יכול להיות שיש שם בעיות קשות לרמה תיכונית של השנים האחרונות.
1. אני אסתכל על הקישור ואיידע אותך, אבל כן Midpoints of parallel chords יתורגם לנקודות מרכז המיתרים המקבילים.

אני אקרא את את הקישור, נראה כמו שאלה מעניינת.

 

[AnarchistPhilosopher]

אני אצטרך לקרוא בשקיקה את הקישור שהבאת, נראה כמו משהו מגיאומטריה אלגברית.

תודה בחשיכת הלילה על שאלות מעניינות.

 

[הפרבולה1]

ננסה לחשב את הקורדינטות של אותו משושה , נסמן את 4 הקודקודים העוקבים כמו שעריסטו סימן
A (a,a^2)
B (b, b^2)
C (c, c^2)
D (d, d^2)

צריך לחשב את a b c d
בגלל הסימטריות a=-d b=-c אורך הצלע הוא 2b
יצאה לי משוואה ממעלה רביעית עם 2 נעלמים a b

​

zzz 4b^2=(a-b)^2 +(a^2 - b^2)^2 zzz

עריכה
עכשיו אני רואה שיש עוד תנאי בגלל שזה משושה משוכלל אז a=2b
יצא לי ש b שווה שורש שליש

 

[בחשכת הלילה]

בלבלתי אותך. השאלה המקורית אכן היתה למצוא את שיעורי הקודקודים.
אבל הרעיון העיקרי הוא להוכיח שהמשושה יכול להיות רק "מיושר": שתי צלעות נגדיות שלו חייבות להיות מקבילות לציר איקס.
אחרי זה החישוב כבר פשוט מאוד.

 

[בחשכת הלילה]

ננסה לחשב את הקורדינטות של אותו משושה , נסמן את 4 הקודקודים העוקבים כמו שעריסטו סימן
A (a,a^2)
B (b, b^2)
C (c, c^2)
D (d, d^2)

צריך לחשב את a b c d
בגלל הסימטריות a=-d b=-c אורך הצלע הוא 2b
יצאה לי משוואה ממעלה רביעית עם 2 נעלמים a b

​

zzz 4b^2=(a-b)^2 +(a^2 - b^2)^2 zzz

עריכה
עכשיו אני רואה שיש עוד תנאי בגלל שזה משושה משוכלל אז a=2b
יצא לי ש b שווה שורש שליש