חידת מספרים משולשים

[עריסטו]

חידת מספרים משולשים

"מספר משולש" הוא מספר מהצורה n(n+1)/2 כאשר n מספר שלם, כלומר זו סדרת המספרים המשולשים:

0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66...​

(אם מציבים n שלם ושלילי לא מקבלים מספרים חדשים) גאוס גילה שכל מספר טבעי הוא סכום של שלושה מספרים משולשים. הוא כתב זאת ביומנו בתאריך 10/7/1796, כך:

חידה: נניח שיש לכם דרך מהירה לפרק מספר לגורמים ראשוניים. איך אתם יכולים לדעת במהירות, בהינתן מספר n, האם הוא סכום של שני מספרים משולשים?

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo62.gif

אם החזקות בהצגה הקנונית של מספר מסויים זוגייות, אז ניתן להרכיב את המספר מסכום שני מספרים משולשים. עכשיו אני חושב על ההוכחה.. (אם זה בכלל נכון..)

 

[Renatius Cartesius]

עוד צעד אחד קדימה...

הוכחתי את הדבר הבא: סכום שני מספרים משולשים עוקבים שווה למספר מסויים בריבוע.

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif לא מובן...

מה הכוונה שהחזקות זוגיות? זה לא אומר פשוט שהמספר הוא ריבוע?

 

[Renatius Cartesius]

זה כן. ../images/Emo13.gif

 

[עריסטו]

אז מה, רק ריבוע הוא סכום שני משולשים?../images/Emo12.gif

 

[ייץ]

נסיון

צריך לבחור K כזה כך ש:

k=(m^2+m+n^2+n)/2 2k=m^2+m+n^2+n נבצע השלמה לריבוע 4k=m^2+(m^2+2m+1)+n^2+(n^2+2n+1)-1 4k+1=m^2+(m+1)^2+n^2+(n+1)^2 קיבלנו ש ארבע קיי ועוד אחד הוא סכום של 4 ריבועים כפי שמתואר. ידוע כי ריבוע לא יכול להיות עם שארית 3 בחלוקה ל 4. 4k+1 הוא אי זוגי לכן מחלקיו הם אי זוגיים לכן כל אחד מהמחלקים יכול להיות עם שארית 1 בחלוקה ב 4 או עם שארית 3 בחלוקה ב 4. כיוון שסכום 4 הריבועים לא יכול להיות עם שארית 3 בחלוקה ל 4 לכן: אם מסתכלים על המחלקים של 4k+1 אם מספר המחלקים שנותנים שארית 3 בחלוקה ב 4 הם אי זוגיים אז לא ניתן לקבל את המספר קיי על ידי 2 מספרים משולשים.​