חשבון הווריאציות

[The Independent]

חשבון הווריאציות

שלום, לא מזמן התחלתי להתעניין פה ושם בחשבון הווריאציות, מכניקה אנליטית ודומיהם. הסיבה המקורית לעניין שלי בנושא הוא בעיית הברכיסטוכרון, שהסבירו לנו עליה בכיתה, והייתה אמורה להיות לנו הרצאה יותר מעמיקה בנושא (בכל זאת, מגמת פיזיקה

), אבל בסוף היא לא התקיימה. הצער והיגון הפנו אותי אליכם, בתקווה שתוכלו לעזור לי למצוא חומר ידידותי (לא כמו מה שמצאתי בגוגל, הסברים שהם או בסיסיים מאוד או מורכבים רק ממשוואות וקצת טקסט). אם זה רלוונטי, ההשכלה הפורמלית שלי היא של מסיים כיתה י' במגמת פיזיקה מורחבת (מאוד, 10 שעות שבועיות, בשנה הבאה 15

), אבל אני לא מפחד ממתמטיקה גבוהה כל עוד לא מניחים יותר מדי ידע אוניברסיטאי מוקדם. תודה רבה

 

[רן בן חור]

חשבון וריאציות

בעקרון אין לי הפניה ראויה, אבל כדי לפשט לך טיפה את ההבנה אני אומר, שבכללי חשבון וריאציות דומה לחשבון דיפרנציאלי רק שבמקום לחפש שינוי של פונקציה בזמן אינפינטסימאלי מחפשים פונקציה שונה אשר רחוקה מהפונקציה "האופטימאלית" מרחק אינפינטסימאלי. במילים אחרות, מניחים שקיימת פונקציה אשר מקיימת איזה תנאי מינימום ואומרים שאם נבצע שינוי בפונקציה הזאת בתנאי שהמרחק הוא "קטן" אז "הפעולה" (נסביר אחר כך) של שתי הפונקציות אינה משתנה. הפעולה היא סכימה (אינטגרל) על כל ערכי הפונקציה באופן הבא J=∫ƒ(x,v;t)dt

 

[רן בן חור]

האינטגרל בסוף הוא אינו המקרה כללי אלא

מקרה פרטי לשם המחשה.

 

[kaplanal]

הנושא דורש הרבה מאוד ידע אקדמי

למרות שבמכניקה אנליטית מלמדים את זה,בסמסטר ראשון של שנה שניה.אם אתה אומר שאתה לומד בתיכון אני בכלל לא יודע איך להסביר לך את זה.

 

[אמִיר]

הסבר קצר

כשאני למדתי חשבון וריאציות (באחת מהפעמים), היה למרצה דרך דיי הגיונית (גם לרמת תיכון) להסביר את זה- אם כי היא לא הדרך הנפוצה. מצטער מראש על אי-דיוקים, טעויות בוטות, או הטעיות גסות. נתחיל מפונקציה. אמנם אתה רק בכיתה י', אבל בטח יצא לך להכיר פונקציות, אתה בטח לא תתפלא אם אני אגיד לך שנגזרת מתארת את השיפוע של פונקציה, וכאשר השיפוע אפס מדובר בנקודת קיצון* (מקסימון/מינימום). נגיד אם הפונקציה היא x^2, הנגזרת שלה היא 2x, הנגזרת מתאפסת ב0, שזו נקודת המינימום. עד עכשיו היה לנו פונקציה של x, בוא נניח עכשיו שיש לנו שני משתנים, נגיד x וy, והפונקציה היא של שני המשתנים. למשל: f(x,y)=x^2+y^2. איך מוצאים נקודת מינימום? שים לב שאם x קבוע, נגיד x=3, יש לך פונקציה של משתנה אחד, שאתה יודע איך למצוא למה מינימום. (עבור x=3, יש לך f(3,y)=9+y^2, אם גוזרים מקבלים 2y, מתאפס באפס => נקודת מינימום בy=0). אם אתה רוצה למצוא את הנקודה המינימלית** של כל הפונקציה, אתה דורש שהנגזרת לפי אקס תתאפס, והנגזרת לפי y תתאפס. (נגזרת לפי x, הכוונה שמתייחסים לy כקבוע, ולהפך). ועכשיו מגיע הקץ' האמיתי- והוא קצת מבלבל. דמיין לעצמך, שאתה יכול לקבוע את הערך של פונקציה בכל נקודה, באיזור מסויים. כלומר, נגיד עבור x מ0 עד 1, אתה רוצה לבחור את הערך של הפונקציה *בכל נקודה*. בכל נקודה זה קצת מסובך.. יש הרי אינסוף נקודות. אז בוא נניח, לצורך המשך הדיון, שאין לנו אינסוף נקודות, אלא N נקודות מאוד צפופות, אבל כאלה שאתה יכול לשלוט על הערך בכל אחת ואחת מהנקודות. במקרה הזה, יש לך N משתנים- f(1), f(2), f(3)..f(N). כמו במקרה של פונקציה של משתנה, אחד, ושתי משתנים, אפשר עכשיו לדבר על פונקציה*** של הN משתנים האלה. נסמן אותה F(f)=F(f(1),f(2),f(3)..f(N). על איזה בדיוק פונקציה זו אני ארחיב בהמשך. אבל אם אתה רוצה להביא את הפונקציה הזו למינימום, אתה עושה מה שאמרתי קודם- מבקש שהנגזרת לפי כל משתנה תהיה שווה אפס. טוב, אני צריך ללכת ההמשך יבוא יותר מאוחר אם יש בנתיים שאלות- אתה מוזמן לשאול

 

[kaplanal]

אבל בחשבון הואריאציות לא מחפשים מינימום

של פונקציה.מחפשים פונקציה שעבורה אינטגרל הפעולה יקבל ערך אקסטרמלי.

 

[אמִיר]

סבלנות ../images/Emo13.gif

 

[אמִיר]

המשך

טוב, prison break נגמר, אני אמשיך בהסבר (שאחרי הכל, מסתבר שהוא לא קצר). בוא נבחן את הדרישה שלנו יותר בפירוט. יש לנו פונקציה: F(f(1),f(2)...f ואנחנו דורשים ש: dF/df(i)=0 עבור כל i. לכאורה אתה מקבל כאן מערכת של N משוואות (i הולך מ1 עד N, עבור כל i יש לך משוואה), בN נעלמים (הf-ים הקטנים), ואת זה אפשר לפתור. עכשיו בוא נחזור ונבחן מה זה הF הזו. הF מקבלת את הפונקציה f(x) (כלומר, את הערכים שלה בכל הנקודות), ומחזירה לך מספר. אחד המקרים המעניינים, הוא שF זו האנרגיה של המערכת. מכיוון שהמערכת שואפת למצב של אנרגיה מינימלית, אם אתה מצליח להגדיר את F, יש לך מתכון את למצוא את הפונקציה f (או את הערכים בכל הנקודות), שתתן את האנרגיה המינימלית! מכיוון שהאנרגיה הכוללת היא סכום של האנרגיות בכל נקודה, ובכל נקודה התלות באנרגיה היא אותו דבר (למשל, אם f מייצג את הגובה, אז האנרגיה בכל נקודה תהיה mgh(i)). באופן כללי, אפשר להגיד שF יראה כך: F=sum{L(f(i),i. כשL היא פונקציה כלשהי. היתרון בכתיבה הזו, הוא שאנחנו כבר לא אומרים שF היא איזשהי פונקציה של N משתנים, אנחנו אומרים שF היא סכום של פונקציות (L) של משתנה אחד. הדבר הזה מפשט מאוד את מערכת המשוואות שקיבלנו קודם! בוא נראה: dF/df(i)=d/df(i){sum(L(f(j)),j} d מכיוון שזה נראה מסובך, אני אתן שוב דוגמא למקרה שיש רק f(1) וf(2).. בוא נקרא להם x וy. אם קודם היה לנו F(x,y) כללי, שיכל למשל להיות x*y+y. עכשיו יש לנו פונקציה חדשה- L, וגם הx וגם הy יהיו מאותה הצורה. נגיד, אם L(x)=x^5, אז F, שהוא סכום על L, יהיה: F(x,y)=L(x)+L=x^5+y^5 התוצאה כאן היא: dL/df(i)=0 לכל i כמובן. אבל! שים לב, L זה פונקציה של f(i), והמשוואה הזו נכונה עבור כל i. ולכן אפשר לחזור ולדבר על פונקציות רציפות! אם נדאג שכל נקודה תקיים את המשוואה הפשוטה הזו, נקבל שסך כל הפונקציה תביא את F למינימום. אבל מסתבר שההגבלה הזו היא חמורה מדי, ולהרבה מקרים הF הוא לא רק סכום של האנרגיות באותה נקודה, אלא תלוי גם במעבר מנקודה לנקודה. למזלינו, בדרך כלל אפשר להסתפק רק בנקודה הקרובה. אם נגיד עכשיו ש: F=sum(L((f(j),f(j+1),),j} d קיבלנו משהו קצת יותר מסובך. עכשיו אם נגזור לפי f(i), פתאום יכנס לנו למשוואה גם f(i+1). אם עושים את זה בצורה זהירה, מקבלים שהמשוואה היא כבר לא dL/df=0, אלא משהו שמערב גם את fi וגם את fi+1. איך עוברים כאן למקרה הרציף? פשוט משתמשים בעובדה שההפרש בין הפונצקיות (חלקי הרווח בינהם) הוא הנגזרת. התוצאה היא משהו מהסגנון: dL/df+d/dx(dL/df')=0 d עכשיו זו כבר משוואה דיפרנציאלית! שזה מספיק מסובך.. ומכיוון שאני בספק שהגעת עד לכאן, אני אוותר על ההסבר. *נקודת קיצון.. או נקודת פיתול. **נקודה מינימלית, מקסימלית.. או נקודת אוכף. ***פונקציה- טוב, זה לא באמת פונקציה. זה נקרא פונקציונל. פונקציה מקבלת מספר (x) ומחזירה מספר. פונקציונל מקבל פונקציה ומחזיר מספר.

 

[The Independent]

תודה רבה ../images/Emo13.gif

האמת שלא הכול היה לגמרי ברור, בעיקר כי התחלת עם משוואות מיד בלי לומר לשם מה בעצם נועד כל העסק... אבל אני חייב לציין שההשקעה שלך באמת גורמת להרגיש טוב.

בכל אופן, חלק ממה שכתבת כן הצלחתי להבין (אני יודע נגזרות חלקיות), אז אני אשאל לגבי החלקים שהבנתי: כשאתה מדבר על "לבחור את ערכי הפונקציה בכל נקודה", אתה מתכוון - למצוא פונקציה, צורה של פונקציה? ובנוסף, אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, ההכללה מ-N נקודות "צפופות" לפונקציה רציפה היא בעצם השאפה של N לאינסוף, הפיכה של כל העסק לאינטגרל? אני פשוט קצת לא הבנתי את המעבר לסכום, נראה לי שזה המפתח. אגב, אפשר לדבר איתי על משוואות דיפרנציאליות, אני יודע את הבסיס (בעיקר את מה ששימושי לגלים, אבל גם כמה משוואות דיפרנציאליות אופייניות במכניקה ניוטונית), ואני תמיד שמח ללמוד עוד בנושאים כאלה.

אני אבין אם אין לך כוח להתחיל לענות ולפרט בנוגע לכל השאלות שלי, אבל זו אחת חשובה: יש לך אולי הפניה לאתר באינטרנט שמלמד את חשבון הווריאציות, מההתחלה? מה שכתבת באמת סיפק רקע טוב, זה פשוט היה קצת מהיר. תודה רבה על ההשקעה

 

[אמִיר]

לצערי, לא

אחרת לא הייתי כותב את ההסבר הזה מלכתחילה

ההסבר מבוסס על הדרך שבה המרצה שלי לימד, והיא לא דרך מאוד נפוצה. היתרון שלה, הוא שהיא דיי ברורה, ולא צריך ידע מוקדם, ובגלל זה השתמשתי בה. כשאני הייתי בכיתה י' לא ידעתי מה זה אינטגרל, בטח לא מה זה נגזרות חלקיות או משוואות דיפרנציאליות (נושא שלמדתי רק באונ'). בגלל זה התחלתי יש מהמשוואות והמתמטיקה, כי זה נראה לי החלק המסובך. החיסרון של השיטה הוא שהיא לא מאוד אלגנטית.. האמת לא חשבתי שזה יצא כל כך ארוך.. אם אתה מכיר קצת פונקציות, נגזרות חלקיות, ויודע מה זה אינטגרל או מד"ר, יש דרכים הרבה יותר פשוטות.. מה דעתך על זה:http://www.sm.luth.se/~johanb/applmath/chap3en/index.htm הגעתי לזה דרך ויקיפדיה, זה נראה דיי נחמד וברור. אין לי בעיה לענות על השאלות, אבל אולי עדיף שתנסה ללמוד את זה "כמו שצריך". אם יש לך שאלות על מה שהולך שם תשאל. בנתיים נראה לי שהכי כדאי לוותר על ההסבר הבדיד הזה. יתרון אחד שכן יש להסבר, הוא שזה קצת נותן "תחושה". כשאמרתי "לבחור את ערכי הפונק' בכל נקודה".. התכוונתי באמת למצוא פונקציה. אבל הרעיון הוא ש"פונקציה" זה בסך הכל אוסף של הרבה משתנים. בכל נקודה, בכל x יכול להיות לי איזה ערך שאני רוצה. והרעיון הוא שיש כאן משהו שהוא לא יותר מסובך, קונספטואלית, מבעית מינימום של כמה משתנים. זה משהו שקצת הולך לאיבוד בדרכים אחרות. אה, וכן, הרעיון הוא להפוך את הסכום לאינטגרל. שוב, לא ידעתי שאתה יודע מה זה אינטגרל, אז השארתי את זה בתור סכום. מה שאנחנו עשינו בשיעור היה ההפך, אמרנו שהסכום הוא קירוב לאינטגרל, ואז פתרנו עבור הסכום.

 

[The Independent]

לגבי האתר שקישרת אליו

גם אני הגעתי אליו לפני בערך שבועיים (מגוגל או מוויקיפדיה), הוא אכן נחמד, פשוט מסביר בלי הרבה מילים. אני אנסה ללמוד ממנו בצורה מסודרת, אקווה לטוב. כתבת שאם אני מכיר חדו"א, כולל של פונקציות רבות-משתנים, ומד"ר, יש דרכים יותר פשוטות להסביר. אשמח אם תוכל להפנות אותי לאחת (אולי האתר שקישרת אליו יכול להיות ההתחלה, אני פשוט חושב שהוא נותן מעין הקדמה לנושא, לא באמת לימוד שלו; אני מניח שאם הייתי מכיר את החומר ורוצה לחזור עליו האתר הזה היה שימושי). ושוב, לא צריך להניח ידע מתמטי של כיתה י' בלבד, מקסימום אם יהיה שם נושא שאני לא מכיר, אני אלמד אותו, זה לא מה שיפריע, כל עוד הנושא לא גדול מדי; לדוגמה, למדתי קצת עבודה עם מספרים מרוכבים בשביל פרויקט שלי בנושא גלים, וזה לא היה נורא. אפילו נחמד.

בכל אופן, תודה רבה על כל ההשקעה שלך!

 

[אמִיר]

מה דעתך על האתר הבא

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1995 יש בו די הרבה מילים

יש כמה דברים שאתה עלול להסתבך איתם.. אבל אם אתה לא מבין משהו, אתה יכול לשאול כאן. אגב, בסופו של דבר מה שנותן לך החשבון וריאציות זו דרך למצוא מתוך ה"לגרנג'יאן" משוואה דיפרנציאלית. ברגע שאתה מבין את זה, חשבון הוריאציות עצמו לא מאוד מעניין, ואפשר להתקדם עם המכניקה האנליטית. לכן "הקדמה לנושא" זה כל מה שאתה צריך- במסגרת חשבון הוריאציות. (יש עוד דברים שאפשר לעשות במסגרת חשבון וריאציות, מעבר למכניקה אנליטית)

 

[The Independent]

תודה, אני אנסה ללמוד משם

קראתי על לגרנז'יאן בוויקיפדיה, ניסיתי למצוא לפיו את משוואת התנועה של תנועה במעגל זקוף ויצא לי דומה למשוואת תנועה של מטוטלת.

אני כנראה צריך ללמוד עוד דבר או שניים. תודה

 

[אחמס1]

אמיר, ממש תודה על ההסבר!

אמנם עדיין לא עיכלתי את כולו ויישבתי את מה שלמדתי במכניקה אנליטית, אבל מעולם לא ניסיתי לחשוב על הגבול הדיסקרטי בחשבון וריאציה וגם ככה לא ממש הבנתי את זה. אצלנו המרצה ממש ממש ממש לא טרח להסביר את שיטת הוריאציה לעומק, הוא רק אמר כמה מילים שלא הבנתי על מרחבי פאזה והציג את משוואת אוילר-לגרנג'. זאת ועוד גרמו לי מאוד לא להעריך אותו ולדפוק אותו במשאל המרצה, אבל חזרתי לכבד אותו אחרי שהוא נתן לנו פיצוי לא ישוער, בדמות מבחן קל (שאף-על-פי-שלא הבנתי את החומר, וגם בפתרון תרגילים פירפרתי, הציון שלי בקורס זה לא היה מוריד את הממוצע גם לסטודנט המצטיין ביותר). ההסבר שלך אמנם לא נוגע במושגים מעבר לרמת הפונקציות ונגזרות (בהנחה והקורא יכול להתפוס פונקציה מרובת משתנים), אבל לדעתי הטרמינולוגיה אקדמית וזרה לתלמידי תיכון. נראה לי שאם אני הייתי רואה את זה כשהייתי אחרי כיתה י' הייתי מקבל התקף חרדה.

 

[אמִיר]

אתה כנראה צודק

קשה לחזור ולחשוב במונחים של תלמיד תיכון, בטח כשאתה מנסה להסביר לו מה זה חשבון וריאציות

בכל מקרה, ההסבר יצא הרבה יותר ארוך ומסורבל ממה שחשבתי שהוא יצא בהתחלה, אבל הבנתי את זה רק בדיעבד (אחרי ה"שלח"). ואגב, אצלנו קרה צירוף מקרים מוזר. תמיד היו לומדים חשבון וריאציות במקביל בשני קורסים, גם באנליטית וגם ב"שיטות 1" (מתמטיקה לפיזיקאים). בדיוק בשנה שלי, כל אחד החליט בנפרד שהכפילות מיותרת, וויתר על זה (מעבר ללהגיד כמה מילים לא מאוד ברורות)... בסוף למדתי את זה רק בשיטות 2, בדרך שתיארתי.

 

[spake]

אני אנסה.....

אמרת שאתה לא מפחד ממתמטיקה קצת קשה ברמה של תיכון...........אז תזכר רגע במה שלמדת על פונקציות.......כזכור ע"י הצלחת לפתור בעיות של מינימום מקסימום אם אני לא טועה שאלון 006....(זה כתה י"א אבל אולי במורחב כבר למדת את זה) בכל מקרה בחשבון וריאציה נעשה שימוש בפונקציונל שהוא למעשה בניגוד למה שאתה רגיל הינו פונקציה של פונקציה כלומר אם עד עתה סימנת f(x) עתה נרשום L(f(x)). כעת כמו לכל פונקציה גם לפונקציה זו יש מינימום מקסימום וכד' אך בניגוד לפונקציה הפונקציונל תלוי בפונקציה ולא במשתנה/משתנים כלומר אם בפונקציה ערך המקסימום מינימום הינו בדיד כלומר יש לך בקטע סופי מספר סופי של נקודות מינימום מקסימום (עבור פונקציות שאינן קבועות) כעת בפונקציונל ערך המינימום יכול להשתנות כלומר יכולות להתקיים אין סוף נקודות שונות עבור x שיקיימו את המינימום מקסימום אך קיימות מספר סופי של פונקציות המקיימות זאת עבור קטע סופי. אני חוסך ממך אלגברה מסובכת וסימונים מיותרים (כי בניגוד לאחרים כאן לי אין שמץ של מושג כיצד רושמים אותם כאן בפורום) ואומר לך כי קיימות משאוות דיפרנציליות קומפקטיות ונחמדות שאם תציב בהם את הפונקציונל תוכל למצוא את המינימום מקסימום ובכך לפתור בעיות של פונקציונלים. כמובן שזהו תיאור כללי בערך דקה ראשונה בהקדמה לחשבון וריאציות במכניקה אנליטית. (ניסיתי לשמור זאת כמה שיותר קרוב למתמטיקה שאתה מכיר מקווה שהצלחתי...)

 

[The Independent]

תודה ../images/Emo13.gif

אני חושב שרעיון הפונקציונל ברור לי פחות או יותר - פונקציה שמקבלת פונקציה ומחזירה מספר. מה שלא הבנתי הוא מה בעצם עושים עם זה? איך אני מגדיר את התנאים שהפונקציונל אמור לקיים (לדוגמה בבעיית הברכיסטוכרון, הפונקציה שמתארת את מסלול התנועה חייבת לעבור בשתי נקודות, ותנאי ה"קיצון" הוא שזמן התנועה יהיה מינימלי - לא הבנתי איך דורשים את זה)? בנוסף, ראיתי כאן דפוס חוזר של פישוט המתמטיקה הגבוהה בשבילי... ההתחשבות הזו נחמדה מאוד, אני לא יודע אם אני הייתי מסוגל להסביר למישהו פיזיקה בסיסית בלי להיכנס לחדו"א ולווקטורים; אבל מאידך, הרעיון הוא כן לדעת את המתמטיקה ולדעת לעבוד עם חשבון הווריאציות, כלומר, מעבר לעובדה שמדובר בהכללה של חדו"‎א לפונקציונלים וכו'. כן, כבר למדתי לעבוד עם פונקציות, חשבון דיפרנציאלי וקצת חשבון אינטגרלי, ולמורה שלי למתמטיקה ממש ממש לא אכפת מהבגרות, הוא מלמד לעומק, בקצב מהיר וגם נושאים שלא קשורים לבגרות. בשביל להמחיש, השנה הוא התחיל קצת מרוכבים, כדי שבשנה הבאה מי שייקח קורס הרחבה במתמטיקה יוכל ללמוד כמו שצריך טורי פורייה. הרעיון בכל המשפטים האחרונים הוא - לא אכפת לי ללמוד גם מתמטיקה גבוהה אם צריך, חשבון הווריאציות הוא נושא שמעניין אותי ואני מוכן להשקיע בשבילו זמן. תודה רבה

 

[spake]

תיקון קטנה אצלך....

פונקציונל מקבל פונקציה ומחזיר פונקציה ולא מספר... אתה לא מבין שלפני חשבון וריאציה אתה צריך ללמוד קצת דברים כמו נגזרות חלקיות, טור טיילור, לא יזיק לך גם לדעת קצת על קוסינוסים היפרבולים ופונצקיות לא טריוויליות (אני מקווה שלא שכחתי משו בדרך). בכל מקרה אם אתה רוצה ללמוד חשבון ויראציה לעומק אתה חייב ללמוד קצת לפני מה זו משוואה דיפרנציאלית שימושיה. אגב בקשר לבעייה שאתה מדבר עליה הדרישה לזמן מינימאלי נעשת ע"י כך שאתה מוצא את פונקציית הזמן שהיא כמובן דרך לחלק מהירות את זאת אתה צריך להכפיל בפוטנציאל וע"י מינימזציה אתה מגלה כי ישנו שימור אנרגיה ולכן כל שעליך לעשות הוא לפתור משווה דיפרנציאלית שאם אני לא טועה הפתרון שלה הוא ציקלואידה (אני מקווה שאנחנו מדברים על אותה בעייה מהו המסלול הקצר ביותר שניתן לבנות בין שתי נקודות כאשר קיים רק כח הגרוויטציה).

 

[The Independent]

אנחנו אכן מדברים על אותה הבעיה

והפתרון שלה הוא באמת ציקלואידה. את רב החומר שכתבת כרקע לחשבון הווריאציות אני יודע (חלק ברמה גבוהה יותר וחלק פחות, אבל אני כן יודע במה מדובר). מן הסתם אני יודע מה זו משוואה דיפרנציאלית ושימושיה, כתבתי כבר שאני רוצה את זה בשביל פיזיקה, ובפיזיקה חייבים משוואות דיפרנציאליות. אני לא בהכרח רוצה לדעת את כל מה שאפשר, בשביל זה קיימת האוניברסיטה, אבל אני מאוד רוצה לדעת לעבוד עם מכניקה אנליטית. תודה על העזרה

 

[spake]

קודם כל...

א. בשביל מכניקה אנליטית לא ממש צריך חשבון וריאציה (אפשר למצוא את משוואות אוילר לגרנג' ללא שימוש בחשון וריאציה תאמין לי אבל זה מכוער) ב. יש לי בעייה להפנות אותך לאיזה ספר או חומר מכיוון שפשוט אין לי מושג מה הרמה הנוכחית שלך אתה זורק לאוויר טוריי פורייה, חשבון וריאציה משוואות דיפ' אבל מצב אחר אני מאמין שעוד לא למדת מה זה אינטגרל משטחי או נפחי. מה שכן אם אתה אוהב לשבור ת'ראש ספר טוב במכניקה אנליטית יש ללנדאו וליפשיץ (באנגלית כמובן- אני למדתי/לומד ממנו) ואם אתה אוהב קצת להבין דברים מעבר אתה מוזמן גם לקרוא פיינמן.