טעות בספר חידות

[עריסטו]

טעות בספר חידות

מצורפת חידה מהספר "The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles" (תוגם לעברית כ"ספר החידות הגדול" מאת דייויד וולס) ופתרונה מהספר:

Problem 395: Consider a vertical girl whose waist is circular, not smooth, and temporarily at rest. Around her waist rotates a hula hoop of twice its diameter. Show that after one revolution of the hoop, the point originally in contact with the girl has travelled a distance equal to the perimeter of a square circumscribing the girl's waist. Solution: Since motion is relative, consider the hoop as fixed and the poor girl whirling around. The original point of contact on the girl traverses the diameter of the hoop twice and this is the required distance.​

לפתרון שם מצורף איור דומה לאיור השמאלי בתמונה המצורפת (לחצו על התמונה לאנימציה). מיצאו את הטעות בפתרון, ואת הפתרון הנכון.

 

[מספר6]

../images/Emo62.gif

באיור החישוק מקיף את המותניים של הילדה פעמיים, והם שואלים על הקפה פעם אחת. הפתרון הנכון צריך להיות חצי מהפתרון שהם מציעים.

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

התכוונתי לזה: האם העיקרון בפתרונם נכון

האם כשהילדה נעה והחישוק נח, נקודה על מותניה נעה בקו ישר. זה באמת נכון. אבל הם מסיקים מזה שאם הילדה נחה והחישוק נעה, נקודה על החישוק נעה בקו ישר. האם זה נכון

 

[1אברהם]

לדעתי מסלול נקודה על החישוק המסתובב

ניתן לתאור כעקומה במישור הקומפלקסי לפי

f(t) =(a-b)*exp(i*t) + b*exp( i* t*(1-a/b)) t=0...pi ....​

אם החישוק נח והילדה מסתובבת זה מתאים ל a/b=2 ויוצא ( פה a זה רדיוס החישוק)

f(t) =b*exp(i*t) + b*exp( -i* t) = 2*b *cos(t)​

וכש t נע מ 0 ל 2PI אז f(t נע מ b ל -b ואח"כ חזרה ל b לאורך הקוטר הגדול , סה"כ אורך מסלול של 4b אם החישוק נע והילדה עומדת זה מתאים a/b=0.5 ויוצא ( פה b זה רדיוס החישוק)

f(t) =-a*exp(i*t) + 2*a*exp( i* t/2)​

והמסלול יוצא כמו בציור צורה של לב, כדי לחשב את אורכו יש לעשות אינטגרל על המסלול ........

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif אז נכון שהפתרון בספר שגוי../images/Emo35.gif

האורך של העקומה יוצא בדיוק כפול ממה שכתוב בפתרון שם: הוא שווה לפי 4 מקוטר החישוק.

 

[1אברהם]

לא עשיתי את חשבון האורך אבל רואים

שהמסלול לא באותה צורה ב 2 המיקרים ( שהחישוק נח או שהילדה נחה ) , ה"קוטר" של הלב הזה במקום הרחב גדול מקוטר החישוק ולכן נראה שההיקף הוא באמת קרוב ל 4 פעמים הקוטר

 

[עריסטו]

../images/Emo51.gif מעניין מה גרם לטעות בספר

הרי אפילו בלי למצוא את הצורה המדוייקת של המסלול, ברור שהמסלול של נקודה על החישוק אינו קו ישר...

 

[עריסטו]

../images/Emo26.gifחידת המשך../images/Emo26.gif

הנה העקומה פה http://mathworld.wolfram.com/Cardioid.html שם העקומה נוצרת בדרך אחרת - לא מעגל גדול שמתגלגל סביב מעגל קטן שנמצא בתוכו, אלא מעגל שמתגלגל מחוץ למעגל זהה שנמצא מחוץ לו. צריך להוכיח שאכן זו אותה עקומה כמו בחידה. (דרך אגב בסוף שם כתוב אורך העקומה והוא אכן 8a, ומהנוסחה בהתחלה שם רואים ש-a הוא קוטר המעגל הקטן, כלומר אורך המסלול הוא אכן 8 פעמים קוטר המעגל הקטן, ולא 4 פעמים כמו בפתרון השגוי לחידה.)

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

במיקרה של עיגול ברדיוס b שמסתובב סביב עיגול ברדיוס a שלא זז והם אחד בתוך השני המסלול במישור הקומפלקסי הוא ( ראינו מקודם ):

f(t) =(a-b)*exp(i*t) + b*exp( i* t*(1-a/b)) t=0...pi ....​

אם b=2a כלומר העיגול הגדול מסתובב סביב עיגול קטן יותר פי 2 שנמצא בתוכו ועומד, מקבלים

f(t) = -a*exp(i*t) + 2*a*exp( i* t/2)​

כעת נעבור למיקרה של עיגולים חיצונים כאשר העיגול העומד ברדיוס a והחיצוני שמסתובב סביבו ברדיוס b

f(t) = (a+b)*exp(i*t) - b*exp( i* t*(1+a/b) )​

אם רדיוסיהם שווים נציב a=b ונקבל

f(t) = 2*a*exp(i*t) - a*exp( i* 2*t ) = - a*exp( i* 2*t ) + 2*a*exp(i*t) החלפת משתנים u = 2*t f(u) = - a*exp( i* u ) + 2*a*exp(i*u/2)​

וקיבלנו את אותו עקום כמו במיקרה של עיגול בתוך עיגול ביחס של 1:2 שהגדול זז

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif