משפט הקומפקטיות ללוגיקה מסדר ראשון
אומר שקבוצת נוסחאות T היא ספיקה (יש לה מודל) אם ורק אם כל תת-קבוצה סופית של T היא ספיקה. (עיקר המשפט הוא ה"אם", כיוון שה"רק אם" הוא מובן מאליו.) משפט זה מספק כלי להוכחת ספיקות של קבוצות נוסחאות. לדוגמה, קח את התורה של מודל המספרים הטבעיים בשפה עם +,x,>,S,0 (כלומר כל המשפטים מסדר ראשון בשפה זו הנכונים לגבי המספרים הטבעיים), והוסף לה את המשפטים "c>n" לכל n טבעי, כאשר c הוא קבוע חדש שהוספנו לשפה. למעשה אלו המשפטים "c>0" "c>S0" "c>SS0" "c>SSS0" ... קרא לקבוצה הנוצרת T. שים לב שמודל המספרים הטבעיים מספק כל תת-קבוצה סופית של T, אם תפרש את c כמספר טבעי מספיק גבוה. מכאן, על פי משפט הקומפקטיות, של-T יש מודל, נסמנו M. ב-M מופיעים כל המספרים הטבעיים, ונכון כל מה שנכון לגביהם במודל הרגיל של הטבעיים, זאת מכיוון שתורת המודל הרגיל כלולה ב-T. אבל נכון גם שהפירוש של c ב-M הוא מספר הגדול מכל המספרים הטבעיים, כלומר מספר "אינסופי". M נקרא "מודל לא סטנדרטי" של המספרים הטבעיים, מכיוון שנכון בו כל מה שנכון לגבי המספרים הטבעיים, אבל יש בו גם מספרים אינסופיים). בנייה כזאת מהווה בסיס לענף שלם הנקרא "אנליזה לא סטנדרטית", החוקר פונקציות ממשיות במודל לא סטנדרטי של המספרים הממשיים, המכיל מספרים אינסופיים, וכן מספרים חיוביים הקטנים מכל ממשי חיובי. לא מפתיע שמושגים הכוללים אינסוף כגון גבול, רציפות ונגזרת הופכים למושגים פשוטים בעלי הגדרה קצרה ואלגנטית באנליזה לא סטנדרטית. יובל.
