גבולות בכמה שורות
גבול של ביטוי מסוים הוא בעצם הערך שהביטוי *שואף* אליו כאשר הארגומנט (או ארגומנטים) שלו שואפים לערך מסוים. הערך שהארגומנטים שואפים אליו יכול להיות סופי או לא סופי. יש מספר דרישות לקיום גבול, אבל פה מספיק לנסח זאת כך: אם קיים גבול, הרי לכל "טעות" מהגבול שתדרוש, נוכל למצוא נקודה שהחל ממנה, המרחק של הביטוי מהגבול יהיה קטן מהטעות שתדרוש. תיכף נסביר... נבחן כמה דוגמאות: 1. הפונקציה y=1/x. אין משמעות לשאול מה *הערך* שלה כש-x שואף לאינסוף. אבל אפשר לשאול מה הגבול שלה כש-x שואף לאינסוף, ודי אינטואיטיבי שהגבול הוא אפס, או: y שואף לאפס כש-x שואף לאינסוף. איך משתלבת פה האמירה הקודמת? אנחנו טוענים שהגבול הוא אפס. זה אומר שלכל *טעות* (או בעצם דיוק) שתדרוש, נוכל לאמר לך מתי הוא תקף. למשל, טענו כאן שהגבול הוא אפס. אתה יכול כעת לדרוש שהשגיאה, או המרחק מאפס, תהיה קטנה מאחד חלקי מיליארד. ברור שזה קורה אם הולכים מספיק רחוק, כלומר לכל x שגדול ממיליארד. אם תדרוש טעות של אחד חלקי מיליארד מיליארדים, ברור שזה קורה לכל x שהוא מעבר למיליארד מילארדים, וכן הלאה. 2. מהו הגבול של הפונקציה sinx)/x) כאשר x הולך לאינסוף? גם זה די אינטואיטיבי בעצם, כי הפונקציה הזו קטנה או שווה בערכה המוחלט לפונקציה שבדוגמה 1. גם כאן, הגבול הוא אפס, משיקולים דומים. 3. מהו הגבול של הפונקציה sinx)/x) כאשר x הולך ל-0? ברור שהפונקציה לא יכולה להיות מוגדרת שם, כי חילוק באפס הוא חסר משמעות. יחד עם זאת, אפשר להראות כי הגבול הוא 1. ככל שניקח ערכים יותר קטנים של x (אך לא ממש אפס) נקבל ערך קרוב יותר ויותר לאחד. 4. אולי למדת שיש המסמנים נגזרת לא סתם כ-`y אלא כותבים אותה כגבול, משהו בסגנון של lim(h->0) [y(x+h)-y(x)]/h. זה בדיוק אותו רעיון, והכוונה היא שאין בעצם משמעות לנגזרת (או שיפוע) בנקודה אחת, כי שיפוע הלא דורש שתי נקודות לפחות. עם זאת, אנחנו יכולים לקחת נקודה נוספת שמרחקה h מהנקודה בה מחשבים קטן כרצוננו, ולמצוא את ערך השיפוע בדיוק שיהיה טוב מכל שגיאה שתדרש. גם זה הוא גבול. מקווה שהצלחתי להסביר ולא לבלבל... עודד
