לינארית

[vadik1212]

לינארית

שלום, אשמח לכיוון בשאלה הבאה:

נתון מרחב מכפלה פנימית V ממד N>1, ונתון וקטור כלשהו v במרחב V.
הוכח או הפרך. לכל a ממשי המקיים

0<=a<=||v||​

קיים תת מרחב של V , כך שאורך ההיטל האורתוגונלי של v על התת מרחב הזה שווה לa
עכשיו לדעתי הטענה נכונה, הבעיה שאני לא מבין איך למצוא את התת מרחב הזה , הרי מספיק לנו למצוא תת מרחב ממד 1 נכון? לקחת בו וקטור יחידה לכפול בa וקיבלנו את ההיטל הדרוש.

תודה מראש.

 

[1ca1]

נכון מאוד

ביקשת כיוון, אז הכיוון שאני מציע לך הוא לחשוב על R^2, ואיך אתה מוצא את ההיטל האורתוגונאלי הזה, הוא מאוד ברור שם.
מה קורה כאשר a=0? מה קורה כאשר a=||v||? מה קורה באמצע?
&nbsp
כאשר תבין את המקרה הדו-מימדי, תוכל להכליל בקלות (קח את הוקטור הנתון, תפרק את המרחב לו ולמשלים הניצב שלו, ואז תמצא ת"מ חד-מימדי בדומה למקרה הדו-מימדי).

 

[vadik1212]

......

תודה על ההתיחסות. לצערי לא הולך לי למצוא אותו גם ב R^2, מה קורה בקצוות אני מבין, אבל באמצע אני מסתבך. איך אני מוצא ב R^2 היטל אורתוגונלי לוקטור נתון, כאשר ידוע לי רק האורך שלו?
&nbsp
תודה לך.

 

[1ca1]

תחשוב מה זה היטל אורתוגונאלי

אם נתון וקטור u ואני לוקח וקטור יחידה v, מה ההיטל של u על v? מה אורך הצל המתקבל?

 

[vadik1212]

אוקיי...

בהנחה שאנחנו לוקחים תת מרחב ממימד 1, אז ההיטל הוא בעצם הוקטור יחידה כפול a
כאשר a זה המקדם של וקטור היחידה בהצגה של הוקטור הנתון לפי בסיס אורתונורמאלי הוכלל את וקטור היחידה..... ברור שאורך ההיטל הזה הוא a..... ברור לי שזה לא באמת עוזר לי.... אוף אני לא מבין מ אני מפספס זה נראה לי שאלה קלה במיוחד

 

[הפרבולה]

אפשר ככה

יהיה u וקטור יחידה הניצב לוקטור הנתון v, קיים כזה רק אם המימד גדול מ 1.
בנה וקטור יחידה אחר w השווה ל
w = sqrt(1 - a^2/||v||^2 ) * u + ( a/||v||^2 ) *v
הוכח ש
<v,w> =a

 

[1ca1]

זה לא רלוונטי

התשובה שלך נכונה, אבל זאת לא הדרך להגיע אליה.
&nbsp
ודים צריך להגיד לי מה אורך ההיטל האורתוגונאלי, ומשפט כמו "אורך ההיטל האורתוגונאלי הוא אורך ההיטל האורתוגונאלי", הוא אומנם נכון, אבל לא מסוג המשפטים שמרוויחים נקודות בבחינה (אולי אפילו להיפך, מורידים נקודות).
&nbsp
ודים - לא הבנתי מה הקשר של a, יש לי וקטור u נתון ב-R^2, ואני בוחר וקטור יחידה v כלשהו, מה אורך הצל של u על v? שאלה ברורה, התשובה היא מספר. נניח שהאורך של u הוא 7, והוא בזווית של 45 מעלות מציר איקס החיובי, התשובה צריכה לתת מספר (או יותר נכון - נוסחא כתלות ב-v).

 

[vadik1212]

לא ברור לי מה הכוונה "צל"

אבל אם יש לנו R^2 עם מכפלה פנימית כלשהי, וקטור נתון U ווקטור יחידה V, אז אורך ההיטל האורתוגונלי של U על התת מרחב שנפרש על ידי V הוא
השורש של :

||U||^2-||U-(U,V)V||^2​

כאשר ( , ) זאת המכפלה הפנימית במרחב.
לא הצבתי את המספרים שרשמת אבל הביטוי בסדר לא?
&nbsp
&nbsp

 

[1ca1]

לא הבנתי את הנוסחא המסובכת

אם יש לך מרחב U שנפרש ע"י ui אורתונורמליים, אז יש נוסחא להיטל האורתוגונאלי
PU(v)=sum <v,ui>*ui zz
&nbsp
צל = ההיטל האורתוגונאלי, זה מה שמקבלים אם עומדים בשמש ומסתכלים על המישור למשל.
&nbsp
בכל אופן, לא מדובר כאן במכפלה כלשהי, אלא במכפלה סטנדרטית.
יש נוסחא בסיסית למה שווה המכפלה zz <u,v> zz, בלי קשר לאיזה מכפלה היא, הקשורה רק לנורמות של u,v.

 

[הפרבולה]

לא הבנתי מה הבעיה

הרי הוא ביקש למצוא תת מרחב ממימד 1 שאורך ההיטל עליו של הוקטור הנתון v שווה ל a. כלומר יש למצוא וקטור שפורס תת מרחב כזה, ואכן וקטור היחידה w המוגדר על ידי ( u וקטור יחידה ניצב ל v ):
w = sqrt(1 - a^2/||v||^2 ) * u + ( a/||v||^2 ) *v
בדיוק פורס תת מרחב כזה
אורך "הצל" של הוקטור הנתון v על תת מרחב זה הוא בדיוק a

 

[1ca1]

אמרתי לך, התשובה שלך נכונה אבל לא מביאה לדרך הנדרשת

יותר נכון - זאת הדרך הנדרשת (עובדה - יש לך נוסחא), אבל לא מלמדת איך להגיע אליה.
&nbsp
אם יש לך וקטור יחידה במישור, zz (rcost,rsint) zz,
מה ההיטל שלו על ציר ה-x למשל?