לא למדתי מבנים אלגברים לעומק
אז אני לא מכיר את המשפטים הללו בדיוק, אבל איזומורפיזם היא תכונה מאוד חשובה של מבנים אלגברים. לכל "מבנה אלגברי" יש צורה משלו. אם הצלחת למצוא איזומורפיזם בין שני מבנים אלגברים שונים, אז המשמעות היא שיש להם בדיוק את אותה הצורה. כלומר, איזומורפיזם בין מבנים אלגברים זו הדרך המתמטית לאמר "אותה גברת בשינוי אדרת". למה זה טוב? נניח שהגעת למבנה אלגברי A מתוך תורה Alpha, והגעת למבנה אלגברי B מתוך תורה Beta. מן הסתם, בכל אחת מן התורות הוכחת כל מיני תכונות ומשפטים על המבנה הזה. אם הצלחת להוכיח איזומורפיזם בין שני המבנים הללו - הוכחת למעשה שהם בדיוק אותו מבנה! לכן, כל משפט שהוכח בתורה Alpha עבור מבנה A, ניתן לתרגום באמצעות האיזומורפיזם למשפט אנאלוגי בתורה Beta עבור מבנה B. כלומר "חסכת" את העבודה של ההוכה של כל מיני משפטים. לא רק זה. לפעמים הרבה יותר נוח להוכיח משפט עבור מבנה אחד מאשר עבור מבנה אחר. לכן, עבור כל משפט, תוכל לבחור את הדרך הנוחה לך להוכחה. כמה דוגמאות (שאני מכיר...): אלגברה לינארית (כמובן...) טרנספורצמיות לינאריות ומטריצות. המבנה האלגברי של מרחב הטרנספורמציות ממרחב V מממד n למרחב W מממד m מעל שדה F איזומטרי למרחב המטריצות מסדר mxn (אם אני לא טועה בסדר). כל משפט שיש על מטריצות, יש על ט"ל ולהפך. יש הוכחות שמוכיחים בזה, יש הוכחות שמוכים בזה, וכך הלאה. דוגמה נוספת, די מפורסמת, משפט טאניאמה-שימורה (אם אני לא טועה בשמות) שטוען שעקומות אליפטיות איזומורפיות לצורות מודולריות. בעזרתו הוכיחו את המשפט המפורסם של פרמה. השתמשו באיזומורפיזם בין שתי התורות כדי להראות שאם קיימת שלשה כזאת, אז אחרי איזומורפיזם לצורות מודולריות מקבלים סתירה. בכל מקרה, איזומורפיזם זו טענה מאוד חזקה. בהרבה מקרים לא ניתן להוכיח אותה, אז ניסחו תכונה מעט יותר חלשה - הומומורפיזם. את ההומומורפיזם ניתן לדמות ל"דגם". יש לנו מבנה אלגברי A והוכחנו איזומורפיזם למבנה אלגברי B. אז אפשר לתאר את מבנה B כ"דגם" של מבנה A. מעין צורה יותר קטנה, שבכלליות יש לה את אותו מבנה כמו A, אבל הם לא זהים. בכל מקרה, זה העקרון של איזו/הומומורפיזם. מוזר לי שלא הסבירו לכם את זה, אבל יכול להיות שפשוט לא הבנתי למה אתה מתכוון. אהד.
