אכן, יש קשר: השורש של 'משרד' הוא ש-ר-ד, ו"בגדי שרד" יש בתנ"ך
"אֶת-בִּגְדֵי הַשְּׂרָד לְשָׁרֵת בַּקֹּדֶשׁ אֶת-בִּגְדֵי הַקֹּדֶשׁ לְאַהֲרֹן הַכֹּהֵן וְאֶת-בִּגְדֵי בָנָיו לְכַהֵן" (שמות לה יט) כלומר אלה היו בגדי הכוהנים הרשמיים (ומכאן נראה לי שההמשך ברור
).