ניסיתי לברר (מזמן), אך לא מצאתי תשובה.
"משכבר" מופיעה במילון, חלק מצירוף. בשכבר הימים פירוש: מילים נרדפות, ביטויים ועוד | מילון אבניאון (milononline.net)
"שמכבר" הוא כנראה צירוף מקורי של אלתרמן, כי לא מצאתיו במקומות אחרים, וכשהתייעצתי עם עמיתים לא הכירוהו.
עם זאת, נראה לי שהצירוף של אלתרמן הוא סך כל רכיביו ועל כן ברור מאליו (ש+מכבר). האקדמיה ללשון העברית (hebrew-academy.org.il)
נראה לי שאלתרמן כיוון לשירים שכבר היו ("שכבו") אצלו זמן לא מבוטל / פורסמו בכל מיני טורים אך טרם כונסו לספר, או משהו כזה.
לסיכום: הבדל משמעותי במשמעות לא מצאתי.