נראה לי שהתשובה היא:
1000 דלתות יישארו פתוחות ! הסבר: נלך על הדוגמא של 20 דלתות, כדי להבין. בהתחלה כל הדלתות סגורות. האיש הראשון פותח את כולן. האיש השני סוגר כל דלת שנייה האיש השלישי סוגר את השלישית, פותח את השישית, סוגר את התשיעית, פותח את דלת מס' 12, וכן הלאה... לאחר שממשיכים עם הסדר הזה ולאחר שהאיש האחרון (מס' 20 סוגר את דלת מס' 20) אנחנו נשארים עם המצב הזה: 1 - פתוח, 2 - סגור, 3 - סגור, 4 - פתוח, 5 - סגור, 6 - סגור, 7 - סגור, 8 - סגור, 9 - פתוח, 10 - סגור, 11 - סגור, 12 - סגור, 13 - סגור, 14 - סגור, 15 - סגור, 16 - פתוח, 17 - סגור, 18 - סגור, 19 - סגור, 20 - סגור. מה בעצם נשאר פתוח ? 1,4,9,16 - כולם ריבועים של מספרים עכשיו ננסה להבין למה: לדלת מס' 1 רק הבנאדם הראשון מגיע והוא פותח אותה. אח"כ אף אחד לא עובר עליה, לכן היא נשארת פתוחה. לדלת מס' 2 מגיעים שני אנשים (1, 2), אחד פותח, השני סוגר. אח"כ אף אחד לא מגיע אליה ולכן היא נשארת סגורה. לדלת מס' 3 מגיעים שני אנשים (1, 3), אחד פותח, השני סוגר. אח"כ אף אחד לא מגיע אליה ולכן היא נשארת סגורה. לדלת מס' 4 מגיעים 3 אנשים (1,2,4), אחד פותח, שתיים סוגר, ארבע פותח. בקיצור, אם מספר אי זוגי של אנשים מגיע לדלת - הדלת נשארת פתוחה. אם מספר זוגי של אנשים מגיע לדלת - היא תשאר סגורה. כשמדובר במיליון דלתות, המספר 1000 בריבוע שווה מיליון, כך שהבנאדם ה-1000 הוא זה שפותח את הדלת (כי מספר המחלקים הוא אי זוגי) אני מקווה שהתשובה נכונה והסברתי את עצמי מספיק טוב למי שלא הבין.
... הסתכלתי על זה בדרך אחרת לגמרי.