מפגש התיכונים - הוכחה

[K I S 69]

מפגש התיכונים - הוכחה

היי אני מחפש הוכחה ישירה ולא בשלילה ש3 התיכונים עוברים בנקודה אחת. תודה

 

[Renatius Cartesius]

ואני מחפש...

הוכחה לקו של אוילר. תודה.

 

[נצחיהTT]

בגיאומטריה אנליטית

מניחים שהמשולש נמצא על מערכת צירים מסמנים את שלושת קודקודי המשולש, מוצאים על פי נוסחת נקודת האמצע את אמצעי הצלעות, מוצאים לפי זה את משוואות התיכונים. לוקחים שתי משוואות תיכונים ומוצאים את נקודת החיתוך ביניהם מראים שנקודה זו מקיימת את משוואת התיכון השלישי מסקנה - התיכון השלישי עובר בנקודת החיתוך של שני האחרים - כלומר שלושתם נפגשים בנקודה אחת.

 

[K I S 69]

אני מחפש הוכחה בגאומטריה אוקלידית

והוכחה ישירה - לא בשלילה.

 

[Renatius Cartesius]

זאת לא הייתה הוכחה בשלילה!

רמז: דרך קוקודי המשולש תעביר ישרים מקבילים לצלעות הנגדיות. אתה תקבל משולש גדול יותר מסביב למשולש המקורי. רמז 2(עבה במיוחד...): תחפש מקביליות. אם לא הצלחת, תגיד!

 

[K I S 69]

לא הצלחתי

העברתי מקבילים ויצא לי משולש גדול יותר בו המשולש המקורי מתקבל מחיבור קעים אמצעים. מצאתי 3 מקבילים וכנראה צריך לקחת את האחת עליה מחפשים שהאלכסונים נחצים בה ואז נקבל תיכון, אבל איך אני יודע שאותו אלכסון עובר דרך אותה נקודה שחשודה לאמצע?

 

[Renatius Cartesius]

אז ככה...

תשתשמש בף 1) אם יש לך אנך המאונך לאחד המקבילים, אותו אנך גם מאונך למקביל שלו.( ניסוח גרוע..) 2) שלושת אנכי אמצעים במשולש נכתכים בנקודה אחת! תנסה...

 

[K I S 69]

מצטער

תן לי בבקשה את ההוכחה כולה ואם אתה מסתמכך על מפגש אנכים אמצעים אז הוכחה גם לזה, אני מנסה להמנע ממעגליות.

 

[K I S 69]

אשמח לקבל עזרה

תודה לכל העונים.

 

[sarelco]

הנה פתרון יפה! (מתאים לאוניברסיטה)

נשתמש בבנייה ש Renatius Cartesius תיאר: עבור המשולש הנתון אפשר לבנות משולש גדול יותר ע"י העברת מקבילים לצלעות המשולש שיעברו דרך קודקודי המשולש. נקבל שהתיכונים של המשולש המקורי (הקטן) הם חלק מהתיכונים של המשולש הגדול. כלומר, כדי להוכיח שהתיכונים של המשולש הגדול נפגשים בנקודה אחת אז מספיק להוכיח שהתיכונים של המשולש הקטן נפגשים בנקודה אחת. והנה היופי: המשולש הגדול הוא פורפורציוני למשולש המקורי (הקטן). לכן, ניתן היה לבנות בצורה פורפורציוניות משולש "קטן יותר" ככה שהמשולש המקורי יהיה "המשולש הגדול" ביחס אליו. לכן, כדי להוכיח שהתיכונים במשולש המקורי נפגשים בנקודה אחת מספיק להוכיח שהתיכונים במשולש "היותר קטן" נפגשים בנקודה אחת. יתרה מזאת, השטח של המשולש ה"קטן יותר" הוא קטן פי 4 מהשטח של המשולש המקורי. ובנוסף, קל להראות שכל נקודות המפגש של תיכונים במשולש נמצאות בתוך המשולש. ניתן לבנות באינדוקציה סדרה של משולשים שמקיימת את אותו היחס. כלומר אם נשתמש בבנייה שתוארה (להעביר מקבילים לצלעות דרך קודקודי הצלעות) עבור המשולש ה- n-יי נקבל את המשולש ה (n-1)-יי. כמו כן, כל נקודות המפגש של התיכונים (של המשולש המקורי) הן נקודות המפגש של התיכונים במשולש ה n-יי ולכן נמצאים בתוך המשולש ה n-יי. קיבלנו סוג של משפט קנטור, כיוון שהשטח של סדרת המשולשים שואף ל- 0, נובע שקיימת נקודה יחידה שבה נפגשים כל התיכונים.

 

[K I S 69]

וואו מעניין

אבל השאלה האם לא קיימת הוכחה ישירה ברמה של הבי"ס בלי שימוש בדימיון. זכור לי שהיה משהו על שטחים אבל אני לא מצליח לשחזר.

 

[sarelco]

הפתרון שהצעתי נראה כך

הנה הפרקטל.

 

[Renatius Cartesius]

אהבתי... ../images/Emo6.gif

 

[K I S 69]

ומה עם הדרך שלך?