מציאת לגרנזיאן של המערכת הבאה

[aaaaa139]

מציאת לגרנזיאן של המערכת הבאה

לוין מקיף כוכב לכת תחת השפעת הפוטנציאל המרכזי
U(r) = -c/r.
צריך לרשום את הלגרנז'יאן של המערכת במונחים של הקואורדינטות הפולריות r,theta.

יש לי שתיי שאלות:
1) פוטנציאל מרכזי, זה לא אומר שטטא לא משחק תפקיד, אלא רק r (=מרחק הגוף מהראשית)? אם כן, אז למה שבלגרנזיאן יופיע טטא? יכול להיות שאני מתבלבל/מפספס משהו קטן.

2) על מנת למצוא אנרגיה קינטית אני נעזר בנוסחה KE=1/2mv^2.
מיקום הגוף בקואורדינטות קרטזיות מיוצג ע"י הנקודה (x,y) ובפולריות (שאלה הקואורדינטות שמבקשים בשאלה זו) הוא מיוצג ע"י הנקודה (rcostheta,rsintheta).

מהירות מוגדרת בתור הנגזרת של המיקום. אבל לא כ"כ ברור לי לפי מה אני גוזר את המיקום (rcostheta,rsintheta) על מנת לקבל את המהירות?
יש לי 2 משתנים. r וtheta.

תודה מראש

 

[Schrodingers Dog]

תשובה

הפוטנציל לא מכיל את הזוית אבל האנרגיה הקינטית כן, כפי שמעידה השאלה השנייה שלך.
&nbsp
המהירות היא הנגזרת בזמן של המיקום. אז אתה גוזר על פי הזמן. אתה ודאי יודע לגזור פונקציה של שני משתנים על פי משתנה שלישי ובעזרת כלל השרשרת.
&nbsp
&nbsp

 

[aaaaa139]

ובכן

אכן..הזווית טטא מסתתרת בקואורדינטות הפולריות של המיקום שממנו מקבלים את המהירות בקואורדינטות פולריות..צודק.

וכן, יודע לגזור פונקציה של 2 משתנים ע"פ משתנה שלישי ובעזרת כלל השרשרת.
אבל יש משהו בסיסי שאני נראה לי מפספס..r,theta, כ"א מהם הוא פונקציה של t?
כאילו בגלל שמיקום של גוף בפולריות נקבע ע"י מרחק מהראשית + זווית, וכ"א מהם יכול להשתנות בהתאם לזמן, אז שניהם מהווים פונקציה של t? ככה אני אמור לחשוב על זה?
פשוט לא חושב שיצא לי לראות את r,theta כתובים מפורשות כפונקציה של t.
אשמח לראות דוגמה לכזה דבר.

תודה על התשובות

 

[Schrodingers Dog]

הסבר

קודם כל זאת בעיה 2 מימדית. למה? אפשר להראות שעבור פוטנציאל מרכזי מהסוג שאתה עובד עליו, תנועת החלקיק מוגבלת למישור.
&nbsp
אז אם הבעיה היא 2 מימדית יש 2 דרגות חופש, במקרה שלנו r וtheta. הן פונקציות של הזמן. אולי מבלבל אותך ששתיהן מופיעות ברכיב ה x וגם ברכיב y. אז מה, לא צריך להתרגש מזה. תגזור על פי כלל השרשרת ואז תסתכל על ריבוע המהירות.
&nbsp
אם עדיין לא תצליח תוכל להסתכל בקישור, הוא יעזור לך
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Two-body_central_force_problem

 

[aaaaa139]

תגובה

אין לי בעיה לגזור את זה..כבר עשיתי את זה והסתדרתי עם זה..
סתם פשוט היה נראה לי מוזר משום מה ש-r וtheta יכולים להיות תלויים בזמן כי לא נראה לי שיצא לי לראות את r וtheta כתובים כפונקציה של t כלומר:
r(t)= function of t, theta(t) = function of t.
כשמדברים על זווית, זה נשמע לי כמו מספר. וכשמדברים על רדיוס זה גם נשמע לי כמו מספר. אבל כנראה בגלל שבקואורדינטות פולריות מיקום הגוף תלוי ב r,theta , והיות והמיקום משתנה כפונקציה של הזמן, אז r,theta אמורים להיות פונקציות של t.


אגב, בשאלה מדובר על לוין שמקיף כוכב לכת תחת אנרגית פוטנציאל. איך זו יכולה להיות בעיה דו מימדית..לוין מקיף כוכב לכת זו בעיה מרחבית לא? R^3.
אפשר בכל זאת לחשוב על זה כאילו הלוין והכוכב יושבים על מישור במרחב והמסלול שהלוין עושה סביב הכוכב לכת מתבצע על המישור הזה?

 

[Schrodingers Dog]

הוכחה

אמרתי שאפשר להוכיח את זה. בעקרון אתה מראה שהתנע הזויתי של הלוין הוא קבוע בגלל שהכח הוא מרכזי ואז אתה מראה שוקטור המיקום מאונך כל הזמן לתנע הזויתי וזה מה שאומר שתנועת הלוין היא במישור אחד. הסבר בקישור:
&nbsp
https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_central-force_problem#Planar_motion