מקצועות ריאליים

[g1u2y32]

מקצועות ריאליים

 

[BluePotion]

שברתי את הראש על האינטגרל הזה..

אשמח אם תוכלו להכווין אותי...

⌡x² / (1+x²)² dx

תודה מראש

 

[סוס כסוף]

כל פעם שאת רואה משהו כדוגמת a²+x² כדאי להציב x=a*tanu ולהשתמ

בזהות
a²+a²tan²u = a²(1+tan²u) = a²*(1/cos²u)
dx = (atanu)' = a*(1/cos²u)
ואז קורים דברים מופלאים (או לא

)
במקרה שלנו
x=tanu ----> dx = (1/cos²u)*du
הביטוי של האינטגרל הופך ל
x²/(1+X²) = tan²u / (1+tan²u)² = tan²u / (1/cos²u)² = tan²u*(cosu)^4
dx את זה צריך להכפיל ב
Integral = ⌡[tan²u*(cosu)^4*(1/cos²u)*du = ⌡(sin²u/cos²u)*(cosu)^4*(1/cos²u)*du = ⌡sin²u*du
עכשיו נשתמש בזהות
cos2α = 1-2sin²α -----> sin²α = 0.5(1-cos2α) = 0.5 - 0.5cos2α
Integral = ⌡sin²udu = ⌡(0.5-0.5cos2u)du = 0.5⌡du - 0.5⌡cos2udu = 0.5u - 0.25sin2u
יצאנו בשלום מן האינטגרל אבל עכשיו יש לנו משימה לא יותר קלה של לחזור למשתנה המקורי. אם האינטגרל הוא מסוים, אני ממליץ לך לחשב את הגבולות עפ"י המשתנה החדש ולחשב את האינטגרל בלי לחזור להצבה המקורית. אבל כאן האינטגרל הוא לא מסוים, אז צריך להזיע עוד קצת
x=tanu ----> u = arctanx
sin2u = 2sinucosu = 2*(sinu/cosu)*cos²u = 2tanu/(1/cos²u) = 2tanu / (1+tan²u) = 2x/(1+x²)
נציב הכל בביטוי של תוצאת האינטגרל
Integral = 0.5u-0.25sin2u = 0.5arctanx - 0.25*2x/(1+x²) = 0.5arctanx - 0.5x/(1+x²) + C
אנא בדקי אם זאת אכן התוצאה ואם אין תשובות, גזרי ובדקי שאת מקבלת את הביטוי המקורי. ספרי גם לי כדי שנוודא שלא טעיתי

 

[BluePotion]

תודה! אבל,

אני לא מצליחה לראות את זה לבד...
איך הגעת להצבה x=a*tanu?
והזהות - a²+a²tan²u = a²(1+tan²u) = a²*(1/cos²u)?
&nbsp
מודה, טריגו זה הצד החלש שלי

&nbsp

 

[סוס כסוף]

הסבר

הוכחת הזהות
1+tan²α = 1 + sin²α/cos²α = mehane meshutaf = (cos²α+sin²α)/cos²α = 1/cos²α
מצד שני, הנגזרת של טנגנס היא בדיוק
(tanX)' = 1/cos²X
הדמיון בין שני הביטויים מאפשר לבצע כל מיני צמצומים ולהיפטר מסכום כדוגמת 1+x², כמו שאני עשיתי לעיל.
אבל נניח שאין לי 1+x² אלא x²+a²? אז במקרה כזה, כדי להגיע שוב ל x²+1, מציבים x = a*tanu ואחר כך מוציאים את a גורם משותף.

על אותו עיקרון, אם יש ביטוי מן הצורה 1 מינוס X² מציבים x=cosu ומקבלים ביטוי עם cosU.

 

[BluePotion]

תודה!

 

[flame12]

עזרה בחישוב שטח משולש

בוקר טוב,

אשמח לעזרה.

תודה מראש וחג שמח!

 

[סוס כסוף]

האם למדתם גיאומטריה אנליטית? אם למדתם אנליטית האם למדתם

במסגרת הזאת חישוב שטח משולש עפ"י הקודקודים?
אם לא, אציע לך פתרון גיאומטרי פשוט.

 

[flame12]

אסתפק בפתרון גיאומטרי פשוט

המטרה של שטח המשולש היא לא מתמטיקה טהורה, אלא חלק מתרגיל בפיזיקה למעשה.
תודה מראש.

 

[סוס כסוף]

או קיי, היעזרי בשרטוט המצורף

העברתי את הקטע ad המקביל לציר האופקי וחותך את הצלע bc בנקודה d. נחשב את שטח המשולש abc בתור סכום המשולשים abd ו adc.
לשני המשולשים ניקח כבסיס את הקטע ad. אפשר לראות לפי הגרף או להוכיח לפי קטע אמצעים, שהשיעורים של הנקודה d הם X=6, Y=10. אז אורך הבסיס של כל אחד משני המשולשים הוא
ad=6-4=2
הגובה של adc יורד מ b ל ad ואורכו לפי הגרף הוא
h1=15-10 = 5
אז שטח המשולש abd יהיה
S(abd) = ad*h1/2 = 2*5/2 = 5 cm²
הגובה של משולש adc הוא הקטע ce הנופל מחוץ למשולש. לפי הגרף
ce=10-5=5
S(adc)=ad*ce/2=2*5/2=5 cm²
אז שטח המשולש המקורי הוא סכום השטחים שחושבו לעיל
S(abc))=5+5=10 cm²

 

[flame12]

תודה רבה!

 

[BluePotion]

עוד אינטגרל

בספר רשום שהתשובה הסופית היא:
= 1.5 x – 4 ln |x+2| + c

איפה טעיתי?

 

[סוס כסוף]

יש לי חדשות טובות - לא טעית בכלל

אם תפתחי סוגריים בביטוי שלא כולל את הלאן, תקבלי 1.5X+3. ה 3 הזה הוא קבוע והוא נכלל ב C שהוספת בסוף. זה קורה הרבה שהנתשובות "כאילו" שונות אבל הן בעצם זהות אם לוקחים בחשבון שה C יכול להכיל כל מיני מספרים קבועים.

אבל בכ"ז הערה לגבי הפתרון: תמיד עדיף לחלק פולינומים או לשחק עם פירוק לגורמים עד שמגיעים למצב שהדרגה של המונה קטנה מן הדרגה של המכנה. אחר כך האינטגרל הוא יותר פשוט. למשל במקרה הזה

(3x-2)/2(x+2) = (1/2)*(3x-2)/(x+2) = (1/2)*(3x+6-8)/(x+2) = (1/2)[(3x+6)/(x+2) - 8/(x+2)] = (1/2)*(3 - 8/(x+2)] = 1.5 - 4*[1/(x+2)]
Integral = 1.5x - 4ln|x+2} + C

 

[סוס כסוף]

ועוד דבר: אם יש לך הספק לגבי הפתרון, גזרי את התוצאה

ובדקי אם את מקבלת את האינטגרנד.
ואם את מתעצלת לגזור - הנה פיה טובה שתסייע
http://www.wolframalpha.com/

 

[BluePotion]

יש, תודה לך!

 

[BluePotion]

עוד 2 אינטגרלים...

אני אשמח לקבל רק הכוונה קטנה לגבי 2 התרגלים האלה, כי אין לי מושג איך לגשת אליהם.
(אני מקווה שלא נמאס לכם ממני

)

לגבי הראשון -
נגיד ואני מפשטת את המכנה שיהיה בצורה הבאה:
x²-4x-5 = x²-4x+4-9 = (x²-2)-3²
מה אני עושה מפה? אני לא מכירה איזושהי נוסחא שיכולה לעזור לי. אולי השלב הראשון שלי לא נכון.

לגבי השני -
איך שהבנתי... אני אמורה להפוך את השבר לשברים חלקיים, אבל איך עושים את זה?

 

[סוס כסוף]

בשני התרגילים פרקי לשברים חלקיים

הטוב ביותר זה לחפש "שברים חלקיים" בויקיפדיה או אולי ביוטיוב.
אפשר גם להיעזר באתר שנתתי לך קודם, הוא ייתן לך ישר את התשובה - ראי דוגמה.