מרחק בין ישרים מצטלבים

[Deathatred]

מרחק בין ישרים מצטלבים

שאלה מבגרות חורף 1998, תרגיל 14: נתונים הישרים x: (2,3,6)+t(3,4,5) h x: (2,-1,-2)+r(-1,12,5) h הם מצטלבים. עלינו למצוא את המרחק ביניהם. מה שעשינו היה לקחת נקודה כללית על ישר אחד ונקודה שבה r=0 על ישר השני. קיבלנו וקטור שנתון ע"י (2+3t,3+4t,6+5t)-(2,-1,-2) = (3t,4+4t,8+5t) חישבנו את אורך הוקטור הוקטור הנ"ל וקיבלנו: 9t^2+16+32t+16t^2+64+80t+25t כל זה בשורש זה פונקצית המרחק (מבחינה טכנית אפשר להוציא שורש ולעבוד עם פונקצית המרחק בריבוע). נגזור לבדוק מתי המרחק מינימלי: [50t^2+112t+80]´ = 100t+112=0 t=-1.12 נציב בפונקציה ונקבל את המרחק בריבוע. הצרה, זה שונה מהתשובה שבספר שהיא 4 (וריבוע המרחק הוא 16). מה הבעיה?

 

[רון חשבון]

לידידי Deathatred !

הסיבה שלא יוצאת לך תשובה נכונה היא פשוט משום שאתה משתמש בשיטה שאיננה נכונה ואיננה חוקית. לדעתי פשוט התבלבלת קצת עם הנושא של "מרחק נקודה מישר" - שם באמת אפשר לפעול בשיטה זו. אבל כשמדובר על מרחק בין שני ישרים מצטלבים אתה לא יכול לקחת באופן אקראי נקודה מאחד הישרים. האם אתה מעוניין בהסבר על איך פותרים נכון תרגיל זה, או שכבר הסתדרת ?

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[Deathatred]

בהחלט כן

מה שמוזר זה שהשתמשנו באותה שיטה בדיוק על תרגיל דומה (רק המספרים היו שונים) וזה יצא נכון. חבל שאני לא אפתור תרגיל של וקטורים בבגרות רק בגלל הסעיף הזה

 

[רון חשבון]

טוף, אז ככה...

 

[Deathatred]

הצלחתי. תודה רבה ../images/Emo13.gif../images/Emo51.gif

באמת תודה על כל ההשקעה שלך ועל כל העזרה שלך. הבנתי את הדרך ויישמתי אותה ויצא כמו בספר. דרך אגב, אני מבין למה כדי ליצור מישור מאחד הישרים שיהיה מקביל לשני צריך לצרף וקטור כיוון של הישר השני. כפי שכבר אמרתי כאן, ישר מקביל למישור רק עם וקטור הכיוון שלו הוא צירוף לינארי של וקטורי הכיוון של המישור. ככה שאם ניקח מישור שמכיל ישר מצטלב ונוסיף לו את וקטור הכיוון של הישר השני - הרי שהישר השני יהיה מקביל, גם כי הוא לא מוכל במישור (אחרת היה נחתך עם הישר שממנו בנינו את המישור) וגם כי מתקיים התנאי בקשר לוקטור הכיוון, שכן V הוא קומבינציה לינארית של וקטורי המישור: 0u+1V (כאשר V וקטור הכיוון של הישר המקביל ו u הוא וקטור כיוון של הישר המוכל).

 

[Deathatred]

הנוסחה של d

אם אני לא טועה היא עבור מישור Ax+By+Cz+D=0 ונקודה x0,y0,z0 היא d=|Ax0+By0+Cz0+D|/SQRT(A^2+B^2+C^2) h בנוסחאון הבגרות מופיעה משום מה הנוסחה הבאה a*x+c=0 שאני משער שהכוונה היא a וקטור הגובה למישור (למה לא לקרוא לו H ?) x ה X,Y,Z של המישור c סקלר, הקבוע D של המישור במקום הנוסחה המפורשת שרשמתי לעיל. מעניין למה רושמים אותה ככה ולא בצורה מפורשת (אנחנו לא למדנו את הנוסחה כפי שהיא מופיעה בנוסחאון).