משוואה דיופנטית

[גיל14]

משוואה דיופנטית

מצא את כל הפתרונות (m,n) במספרים שלמים של המשוואה הבאה:

m³-n³-9mn = 27​

 

[יונתן 2000]

../images/Emo62.gif

הפתרונות היחידים הם:

m = 3 ; n = 0 m = 0 ; n = -3​

 

[גיל14]

../images/Emo128.gif גם m=2, n=-1

 

[עריסטו]

../images/Emo62.gif

m³-n³-9mn = 27 m³-n³-9mn-27 = 0 (m-n-3)(m^2+mn+n^2+3m-3n+9) = 0 m-n-3 = 0 => m=n+3 m^2+mn+n^2+3m-3n+9 = 0 => m=-n-3+-sqrt(-3n^2+18n-27)/2 -3n^2+18n-27 >=0 => n=3 => m=-3​

הפתרונות הם: n שלם כלשהו ו- m=n+3, וגם (m,n)=(3,-3).

 

[עריסטו]

"טעות דפוס"

בסוף צ"ל (m,n)=(-3,3).

 

[גיל14]

../images/Emo127.gif מעולה, תודה