משוואות דינמיקה / משוואות דיפרנציאליות בסיסיות

[white shadow 3]

משוואות דינמיקה / משוואות דיפרנציאליות בסיסיות

הי
בעיקרון, למדנו שאם אנחנו מקבלים משוואה מהצורה
zz -av(+b)=v' zz
אז הפתרון שלה הוא
zz Ae^(-at) zz
מה קורה אם יש לך משוואה מהצורה
zz -av^2(+b)=v' zz

איפה החזקה הזאת באה לידי ביטוי בפתרון? (כי לא למדנו משוואות דיפרנציאליות אז קיבלנו את הפתרון הזה כעובדה

)

 

[antreprize]

...

קודם, כל לא ברור מה משמעות הb במשוואה שלך, אז אתעלם ממנו.
&nbsp
כאשר יש לך ביטוי מהצורה 2^y'=y
אתה יכול לכתוב אותו כך: dy/dx=y^2
או כך: dx/dy=1/y^2
אחרי אינטגרציה פשוטה לקבל: x=-1/y+C
ואחרי סידור פשוט: y=1/(c+x)
&nbsp
אם אתה רוצה להיכנס לפרטים, אז הפתרון הנ"ל תקף בכל הישר הממשי מלבד בראשית (כי הרי השלב השלישי תקף רק בתחום זה).
&nbsp
אני מציע לך לחפש את ספרי המד"ר ש/ל האוניברסיטה הפתוחה - אלו ספרים די טובים ובעברית שעוסקים בשיטות פיתרון של מד"ר, ואם אתה מעוניין רק בפתרון הסופי אז wolfram.com יעזור לך מאוד.

 

[white shadow 3]

אנחנו לא לומדים עדיין מד"ר

וכשהגענו לנושא של חוקי ניוטון ומשוואות תנועה בדינמיקה, בגלל שאנחנו לא לומדים מד"ר אמרו לנו שאם אנחנו נתקלים בשאלות דינמיקה / כוחות במשוואה מהצורה שמצוינת למעלה אז הפתרון הכללי שלה הוא מה שכתוב (כלומר, להשתמש בזה כנתון ולהמשיך משם למצוא את הקבועים לפי תנאי התחלה בשאלה..) ולכן לא הבנתי איך צורת הפתרון
zz Ae^(-at) zz
&nbsp
שנתונה עבור:
&nbsp
zz zz -av=v' zz
&nbsp
עוזרת במקרה של y^2 (אני מבין מצורת הפתרון שרשמת שאין כאן בכלל e בפתרון)
&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp

 

[white shadow 3]

בצורה קצת יותר פשוטה (דוגמא)

חלקיק בעל מסה m נע לאורך ציר x (חד מימדי) בהש]פעת כח חיכוך עם האויר f=-cv^2 כאשר v היא מהירות רגעית וc קבוע חיובי.
מיקום התחלתי בזמן t=0 הוא x0 ומהירות התחלתית בזמן זה v0
&nbsp
מה מהבאים מתאר את מהירות הגוף כתלות בזמן?
&nbsp
zz Ae^(-at^2) zz
zz Ae^(-at) zz
zz (A)/(1+(t/a)) zz
ועוד 2 אפשרויות
&nbsp
כאשר האפשרות הנכונה היא 3 (מסתבר

)
השאלה היא למה ולאן נעלם ה-e הזה שכביכול אמור להיות לי כשאני רוצה משוואה דיפרנציאלית כמו שכאן ולא יודע לםתור אותה (כי לא למדתי מד"ר) עם שום כלי שהוא לא הפתרון הכללי שנתנו לי כנתון בשיעור

 

[antreprize]

אז תלמד.

הספרים די ברורים ורקע של סמסטר ראשון יספיק (אם כי חדוו"א 2 יעזור).
&nbsp
שתי המשוואות
v'=av
v'=av^2
הן אכן בעלות פתרונות שונים, רק הפתרון של הראשונה כולל אקספוננט, ואילו לשנייה הוא בכלל לא קשור ולכן גם לא נעלם ממנה.
שים לב שהמד"ר עליה דיברו איתכם שונה מהמד"ר שבבשאלה (למרות שהצורה שלהן דומה) ולכן יש להן פתרונות שונים.
&nbsp
&nbsp

 

[דניאל החכם]

המשואה מהצורה הראשונה היא ליניארית ב-v ובנגזרות

של , v ועם מקדמים קבועים לכן תמיד אפשר להפכה (ע"י הצבת exp(at) לפולינום.
&nbsp
לכל צורה אחרת של משואה, אין פיתרון כללי, ולרובן אין פיתרון לא נומרי.