משוואות דיפרנציאליות (...חלקיות);

משוואות דיפרנציאליות (...חלקיות);

מדוע משוואות דיפנציאליות (שממה שהבנתי יש 2: חלקיות ולא חלקיות (נראה לי נראות רגילות, לא בטוח))* במדע מצריכות מתמטיקה מורכבת?
האם הסיבה היא טכנית? היסטורית? התחום לא מפותח? ...
מתמטית?...
* = יש עוד סוגי משוואות?!
 

BigBadWolf

Member
תגיד תודה אם אתה בכלל יכול לפתור משוואה דיפרנציאלית

כלומר הכוונה לפיתרון אנליטי.
את רוב המשוואות הדיפרנציאליות, ובטח כשמדובר בחלקיות לא ניתן כלל לפתור אנליטית. לא בגלל שזה קשה מידי, יש הוכחות מתמטיות שמראות שלא ניתן לכתוב פתרון אנליטי.
 

uzi2

Active member
האם כשאתה כותב "מורכבת" אתה מתכוון ל- "מרוכבת"?

כלומר complex functions בתור פתרונות?
אם כן, אז התשובה היא שאפשר להתמקד רק בפתרונות ממשיים, באם רק הם מעניינים, אבל זה מצמצם את מרחב הפתרונות האפשריים. יתרה מכך אנליזה מרוכבת היא כלי חזק בפתרון של משוואות דיפרנציאליות, כך שבהרבה מקרים גם אם אנו מתעניינים בפתרונות ממשיים, (לא מרוכבים) עדיף למצוא את כל הפתרונות המרוכבים, ורק אז להתמקד בתת קבוצה הממשית.
כן. משוואות דיפרנציאליות לא חלקיות, נקראות משוואות דיפרנציאליות רגילות.
כמובן שיש עוד סוגים של משוואות. יש משוואות פונקציונאליות שאינן משוואות דיפרנציאליות. יש משוואות אלגבראיות שאינן משוואות דיפרנציאליות. יש משוואות ואריאציה שאינן משוואות דיפרנציאליות במובן הרגיל של המילה.
משוואות דיפרנציאליות ניתן תמיד לחלק לחלקיות ולרגילות. פורמאלית משוואה דיפרנציאלית רגילה היא מקרה פרטי של חלקית, אם כי מעשית, לא נקרא לה חלקית במקרה כזה. יש כמובן חלוקות משנה.
 
תודה על התגובה

התכוונה למורכבת = מסועפת ומסובכת.. ולא למרוכבת = קומפלקסית...
 

uzi2

Active member
אם כך....

אז ראשית, התשובה של BigBadWolf אכן מראה שזה לא פשוט. לפחות לא מציאה של פתרון אנליטי.
לפעמים הופכים פתרונות נומריים ל-"אנליטיים" על ידי זה שפשוט קוראים לפתרונות בשמות. למשל, לפתרונות הכלליים של משוואת בסל (משוואה דיפרנציאלית חלקית ידועה), פשוט קוראים "פונקציות בסל" ואפשר לחשב את ערכן באופן נומרי, בדיוק כמו שמחשבים את ערכה של פונקצית סינוס.
 

guprnds

Active member
זהו תחום מאוד מפותח במתמטיקה

ויש לא מעט מתמטיקאים שכל עולמם פתרון משוואות (רגילות או חלקיות).
תחום קרוב לא פחות נחקר הוא תחום המשוואות האינטגרליות. גם כאן יש כאלו המבלים 'גלגול שלם' בלימוד ומחקר.
 
למעלה