משוואת אתגר...

[CHOFA]

משוואת אתגר...

בס"ד מי יכול לפתור את מערכת המשוואות הנ"ל לא בדרך גרפית,אלא בדרך חישובית??

X^2+Y=10
Y^2+X=4​

הפתרון עצמו ברור X=3 Y=1 אבל איך מגיעים לזה בדרך של פתרון משוואות???

 

[רון חשבון]

פתרון

לפי התשובה שנתת, אני מנחש שכוונתך היא למציאת הפתרונות השלמים של המשוואות, שכן למערכת זו יש עוד פתרונות שאינם שלמים. נבודד את x מהמשוואה השנייה ונציב בראשונה, ואז נקבל (אחרי פתיחת סוגריים) : y^4 - 8y²+ y + 6 = 0 נשתמש במשפט על פולינום שכל מקדמיו הם מספרים שלמים, הקובע שאם p/q (מצומצם) הוא שורש רציונלי של הפולינום, הרי q מחלק את מקדם החזקה הגבוהה ו p מחלק את האיבר החופשי. מכאן שאם יש שורש שלם למשוואה הוא מחלק של 6 , כלומר 1 או 2 או 3 או 6. הצבה פשוטה מראה שרק y = 1 מתאים, ולכן הפתרונות הם x = 3 , y = 1 .

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[MajorGad]

רון תוכל להסביר עוד על זה?

על הנוסחאות האלה לפתרון פולינומים וסכמת הורנר כי זה יכול לעיתים להיות ממש מועיל

 

[רון חשבון]

בשמחה !

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[רק עכשיו נכנסתי]

רון , זה פשוט גאוני !!!

זה ממש עובד , (מי היה מאמין

) ... האם יש הרחבה למשפט שמאפשר מציאת כל השורשים? והאם זה מאפשר פתירת כל משוואה מסוג פולינום שיש לה שורשים רציונלים (כאלה שלא יכלנו לפתור בדרך רגילה ,נוסחה וכו´)? האם זה מתאים לכל מעלה?

 

[רק עכשיו נכנסתי]

ועוד משהו...

א)יש הוכחה למשפט??? ב)מה בעצם אומר תנאי א´ שאיי אן שונה מ0? ,האם זה אומר שבעצם חייבים להופיע כל החזקות מn עד 0??? לא ניתן לפתור משוואה כדוגמת : x^4-3x^2+2=0 הסבר בבקשה את תנאי א´... תודה

 

[רון חשבון]

תשובות

בוודאי שיש הוכחה למשפט, אבל היא דורשת ידע שמעבר לבית ספר תיכון, בייחוד בנושא של מספרים מרוכבים שאינך לומד בארבע יחידות לימוד. בהחלט ניתן לפתור משוואות שאין בהן את כל החזקות מאפס ועד n . זה בסך הכל אומר שחלק מהמקדמים שווים לאפס... התנאי ש an שונה מאפס נכתב בסך הכל כדי לתחום את מקדם החזקה הגבוהה. כלומר, שלא ייצא ש q מחלק את אפס, ולא נוכל למצוא אותו. לשאלתך מההודעה הקודמת, ניתן להיעזר במשפט לכל חזקה שהיא, אבל רק למציאת שורשים רציונליים. כדי למצוא שורשים באופן כללי קיימות שיטות קירוב שונות שנלמדות במסגרת מקצוע שנקרא "אנליזה נומרית".

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[רק עכשיו נכנסתי]

דווקא...

דווקא מספרים מרוכבים אני יודע ,באופן בסיסי אומנם . וכן אנליזה נומרית , גם כן באופן בסיסי... בכל מקרה ,יש באפשרותך לעלות הוכחה ? (על אחריותי

)

 

[רק עכשיו נכנסתי]

פתרתי משוואה ו...

פתרתי משוואה עפ"י המשפט שכתבת ,יצא לי בסדר אבל בתשובה היה כתוב "ריבוי 2" ,מה זה אומר? האם יש עוד עוד משפטים? אודה לך אם תוכל לצרף אותם ביחד עם דוגמאות... דרך אגב, לאיזה ענף במתמטיקה זה שייך? תודה

 

[CHOFA]

הפתרון אמנם נחמד....

בס"ד אבל את המשוואה הזו אמורים לפתור עם סך כל הידע שיש לתלמיד בכיתה ט´ ולא מעבר לזה....

 

[רון חשבון]

אהה... אם ככה -

דבר ראשון אני מציע לך (ולשאר הגולשים) להבא לציין בפירוש לאיזו כיתה מיועדת השאלה, וכך יהיה קל יותר לכל מי שעונה להתאים את סוג הפתרון לידע של השואל... אבל לא נורא, בזכות השאלה שלך יצא לנו לחדש משהו ולעניין כמה אנשים כאן... אני אתן לך פתרון שמתאים לכתה ט´. מבקשים מאיתנו למצוא את הפתרונות השלמים של המערכת הזו (כפי שכבר אמרתי, קיימים עוד פתרונות שאינם שלמים ואף אינם רציונליים, אך לא נתבקשת למצוא אותם). נחסיר את המשוואות, הראשונה פחות השנייה ונקבל : x²-y²+y-x = 6 נשתמש בנוסחת כפל מקוצר של x²-y² ונקבל : x+y)(x-y) +y-x = 6) נוציא מחוץ לסוגריים את הביטוי (x-y) ונקבל : x-y)(x+y-1) = 6) נתבונן במשוואה שקיבלנו. שני הביטויים שבתוך הסוגריים הם שלמים לפי הנתון, ולכן הם יכולים להיות או 2·3 או 1·6 (או בסדר הפוך או עם מינוס בשניהם). מה שנשאר הוא לבדוק כל אחת מהאפשרויות הנ"ל. ברגע הראשון זה נראה תהליך ארוך, אבל הוא מאד פשוט. אמנם ניתן בכל פעם לפתור שתי משוואות בשני נעלמים, אבל מכיוון שנתון שהם שלמים ניתן לשלול ישר כמעט את כל האפשרויות, עוד לפני שניגשים לפתור. למשל אם הביטוי השמאלי הוא 2 והימני הוא 3 , הרי שהפרשם הוא 2 וסכומם 4 , וזוהי גם האפשרות היחידה הנכונה (נקבל : x=3 , y=1 ).

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[CHOFA]

אבל....

בס"ד לא נתבקשתי למצוא פתרונות שלמים... במקרה מצאתי אותם,והם שלמים הרעיון הוא למצוא בדרך משוואתית את הפתרונות למשוואה הנ"ל

 

[רון חשבון]

אבל....

chofa היקרה ! תתבונני בשירשור שנמצא כאן למעלה ותראי מה קרה...

במשך ארבע פעמים אני עונה לך על השאלה, וכל פעם את מפילה עלי "פצצה" עם הפתעה חדשה...

פתאום מתברר שאת בכיתה ט´, לפתע צריך לפתור בדרך כזו ולא באחרת, והנה את רוצה בכלל פתרונות שאינם שלמים (לא יכולת להגיד לי את זה כבר כשבתשובתי הראשונה הנחתי שאת מחפשת רק פתרונות שלמים ?) מה יהיה ? הרי עכשו אני אענה לך ועוד פעם תגידי לי שזה לא מה שהתכוונת !

אז יש לי רעיון, כי לפחות הזמן שלי מאד מוגבל. בואי תנסחי מחדש בדיוק מה השאלה, בדיוק איזה פתרונות וכמה פתרונות מחפשים, באיזה כלים מותר להשתמש ובאיזה לא, ואיזה עוד דרישות מיוחדות יש לך לגבי אופן הפתרון. אם את מעוניינת בדרך מלאה בכלים של חטיבת ביניים בלבד – אני אשמח "לשבור את הראש" על זה בשבילך, בתנאי שתבררי ממי שנתן לך את השאלה שאפשר בכלל לעשות את זה. בהצלחה,

רון חשבון α•βƒ²(Δ)³+πº∑Ǿ ℓim(x→∞)ε∫¼±

 

[CHOFA]

א.סליחה....

בס"ד משום מה היה לי ברור שכולם יבינו לבד את כל התנאים....

ככה- 1.הרמה לא אמורה לעבור את כיתה ט´ 2.כל פתרון שהוא יתקבל,אין הכרח דווקא לפיתרון שלם 3.הדרך חייבת להיות "משוואתית" ולא גרפית 4.בטח שאפשר לפתור את המשוואה הזו. אני לא בכיתה ט´,אבל בכיתה יא´ קיבלתי את המשוואה הזו מאמא שלי ועד היום(בערך 4 שנים) אני לא מצליחה לפתור אותה!!! מה יהיה???