משפט...

[yontanbn]

משפט...

היי לכולם. רציתי לשתף במשפט שהמצאתי כשהייתי בכיתה ט´. ברור לי שזה לא שום גילוי חדש לעולם המתמטיקה, אבל מכיוון שעוד לא למדתי פונקציות מרוכבות, אני אשמח אם מישהו יגיד לי מאיזה משפט ידוע זה נובע, או משהו דומה בכל אופן, זה עוסק בחזקות של מספרים שליליים. למרות שאוהבים להגיד שהן לא מוגדרות, זה לא לגמרי נכון, כי הרי כל ילד יודע שמינוס אחד בריבוע זה אחד, ואין שום סיבה להפלות אז ראשית אפשר לדבר רק על מינוס אחד ולא על מספר שלילי כללי כי כולם מתנהגים כמוהו. והמשפט שלי אומר את הדבר הבא. יהי איקס מספר ממשי חיובי. אזי למינוס אחד בחזקת איקס יש ערך ממשי אחד לפחות אם ורק אם איקס ניתן להצגה כמספר רציונלי בעל מכנה אי-זוגי.

 

[פאי בחזקת e]

מי אוהב להגיד שהן לא מוגדרות?

לא אני. המשפט שלך - יפה! ולא רק למינוס 1, אלא לכל רציונלי. לא?

 

[atheist22]

תשובה

עברו כבר כמה שנים טובות מאז שלקחתי פונקציות מרוכבות, אבל בוא נראה 1-=(exp(pi*i+2*pi*k*i (y=(-1)^x=exp(pi*i*(1+2k)*x כדי שהמספר יהיה ממשי, הפאזה שלו צריכה להיות כפולה של pi*i 1+2k)*x=n) (x=n/(1+2k עבור כל k,n שלמים y יהיה ממשי. המשפט שלך אכן נכון. אני אגב פעם גם הייתי מוצא כל מני משפטים וזה לא תמיד נגמר טוב. פעם מצאתי שיטה חדשה לפתור משוואות דיפרנציאליות. פתרתי שאלה במבחן במד"ר בעזרת השיטה שלי והוכחתי שהפתרון שמצאתי אכן נכון. מאוחר יותר גם הוכחתי שהמשפט שלי תמיד נכון. קיבלתי אפס על השאלה למרות שפתרתי אותה נכון. הייתי צריך לקחת את הקורס מחדש. היום הייתי נלחם יותר על כזה דבר למרות שניסיתי להלחם קצת גם אז. כשלקחתי את הקורס פעם שנייה קרה לי כמעט אותו הדבר. ראיתי שאפשר לעשות קיצור דרך משמעותי בפתרון של שאלה. עשיתי את קיצור הדרך ואכן הגעתי לפתרון הנכון כמצופה. שוב הורידו לי נקודות. הפעם אבל קיבלתי מספיק כדי לעבור את הקורס.

 

[אינטגרטור]

אם מקפידים על הדיוק המתמטי

אז אני חושב שזה מבורך לחשוב על דרכים מקוריות. אבל זה בהחלט נכון שחלק מבודקי המיבחנים לא ראוים לבדוק מבחנים. חלק בהחלט יודעים להעריך דרכים מקוריות ואף מביאים לזה ביטוי בהערות או בבונוס בציון. האם הסבירו לך מדוע לדעתם הדרך שלך אינה נכונה ?

 

[atheist22]

נראה לך?

העובדה שדרך הפתרון שלי היתה שונה מזו שלמדנו הספיקה כדי לתת לי אפס על השאלה למרות שהגעתי לפתרון הנכון וגם הוכחתי שהוא נכון. לא קיבלתי שום הסברים מעבר לזה. עכשיו אגב יש לי מקרה דומה, והפעם החלטתי להילחם. נראה איך זה יגמר. אני מקווה מאוד שזאת השנה האחרונה שהמרצה הזה מלמד באוניברסיטה שלנו. אני חושב שזאת זכות בסיסית של הסטודנט לדעת למה הורדו לו כל הנקודות על השאלה אם לפי כל בדיקה סבירה הפתרון הוא נכון. המרצה טוען שהוא לא חייב לענות לי.

 

[yontanbn]

אכן כך הגעתי לזה...

כלומר, עם הרבה יותר כתיבה, והרבה יותר שימוש מפורש בסינוסים והקוסינוסים שמרכיבים את הסיפור, אבל זו בדיוק הדרך אז נחמד לדעת שזה נכון... אגב, הכל נוצר מזה שפעם בדרך לאיזו תחרות מתמטיקה שאלתי את החבר´ה שהלכו איתי, רגע, מה זה מינוס אחד בחזקת פיי? ואף אחד לא ידע לענות, אז ישבתי וישבתי אפשר לשמוע את הדרך שלך לפתרון משוואות דיפרנציאליות?

 

[atheist22]

המשפט

זה די מדהים אגב שכשמציבים (exp(pi*i+2*pi*k*i במקום 1-, ההוכחה נעשית פשוטה. בד"כ כלל אנחנו לא חושבים על (exp(pi*i+2*pi*k*i כעל ייצוג פשוט יותר של 1-. בקשר למשפט שלי, זה לא איזה משהו ממש מהפכני כי הוא פועל רק על סוג מאוד מסויים של משוואות, אבל כך גם רוב השיטות שלמדנו בקורס. המשפט אבל פועל על קבוצות שונות לגמרי של משוואות מן השיטות שלמדנו. עברו כבר לא מעט שנים, אבל בוא נראה. זה הלך כך אני חושב: נתונה משוואה דיפרנציאלית רגילה, שבניסוחה כל הפונקציות אלמנטריות ואין פונקציות טריגונומטריות.(אין טורים אינסופיים) ידוע פתרון פרטי של המשוואה, (s(x, המכיל (v(x,c)=sin(h(x)+c הביטוי (v(x,c יכול להופיע כל מספר סופי של פעמים, כאשר בכל הפעמים (h(x חייב להיות זהה ו-c לא חייב להיות זהה. (h(x מורכבת מפונקציות אלמנטריות, שאינן טריגונומטריות. המשפט אומר כי כל (s(x, שבו נחליף את (v(x,c ב- (v(x,c+const הוא פתרון של המשוואה. כדוגמה פרטית של המשפט, אם בפתרון הפרטי מופיע (sin(x אז אם נחליף אותו ב-(cos(x זהו גם יהיה פתרון של המשוואה.