נקודות במישור

[עריסטו]

נקודות במישור

A היא קבוצת נקודות במישור. B היא קבוצת הנקודות המורכבת מאיברי A + כל הנקודות הנמצאות בין שתי נקודות של A. C היא קבוצת הנקודות המורכבת מאיברי B + כל הנקודות הנמצאות בין שתי נקודות של B. D היא קבוצת הנקודות המורכבת מאיברי C + כל הנקודות הנמצאות בין שתי נקודות של C. האם C=D? ומה אם הנקודות במרחב ולא במישור?

 

[גיל14]

../images/Emo58.gif

כן, C=D. במרחב, הטענה לא נכונה: נתבונן, למשל, באוסף הנקודות

A = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,0,1) }​

אז הנקודה d = (0.1,0.1,0.1) zz למשל נמצאת ב-D ולא ב-C.

 

[גיל14]

../images/Emo58.gif -

אינטואיציה/סקיצת הוכחה: במישור, אם הקבוצה A היא קבוצה סופית של נקודות, אז הקבוצה B נראית, בעצם, כמו גרף מלא באשר A הקודקודים של הגרף. הקבוצה C היא, לפיכך, אוסף כל הנקודות שנמצאות במצולע הקמור המתקבל ע"י הגרף. מכיוון שזו קבוצה קמורה במישור, כל קטע העובר בין שתי נקודות בתוכה מוכל בה, ולכן C=D.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[clocker]

זה פשוט קמור של קמור

A זו קבוצת נקודות B זה "כאילו" הגרף השלם בין נקודות A C זה הקמור של A D זה עדיין הקמור של A, כי קמור מהגדרתו סגור לפעולה שהוגדרה בחידה. (הוספת כל הנקודות על קו ישר בין שתי נקודות נתונות)