נקודות מפגש בין האלכסונים במצולע

[ל א ק י]

נקודות מפגש בין האלכסונים במצולע

ניסיתי לפתח לבד, אבל כעבור שעתיים ויתרתי. נתון מצולע בעל n צלעות, כמה נקודות מפגש יש בין האלכסונים בו? [ביטוי הכולל את n כמובן] כדי להסביר יותר טוב את השאלה, הוספתי גם ציור של מחופש, ובו 5 נקודות מפגש בין האלכסונים. ואם זה יעזור, בריבוע יש נקודה אחת. במחומש יש 5 נקודות במשושה יש 15 במצולע בעל 7 צלעות יש 35 במתומן יש 70 נקודות. יש למישו רעיון כלשהו? O:

 

[עריסטו]

פתרון

אני מוצא את המספר המקסימלי של נקודות מפגש, כלומר הפתרון הוא בהנחה שאין שלושה אלכסונים הנחתכים בנקודה אחת. מספר האלכסונים במצולע בעל n צלעות הוא n(n-3)/2, לכן מספר זוגות האלכסונים הוא

n(n-3)/2*[n(n-3)/2-1]/2=n(n-3)(n^2-3n-2)/8​

וזו התשובה. מכיוון שזה לא מתאים לנתונים שכתבת אני משער שכוונתך למצולע משוכלל (למרות שלא ציינת זאת). אם כך - פתרון בקובץ המצורף. כשרואים אותו מובן למה לא הצלחת לפתור לבד

 

[matanZ]

יש לך טעות

אתה מניח שכל שני אלכסונים נחתכים, וזה נכון רק אם מסתכלים על נקודות חיתוך שמחוץ למצולע (או על קדקדיו). לפי הנתונים המספריים ברור שניסוח השאלה צריך להיות: מה מספר נקודות החיתוך של אלכסונים בתוך מצולע קמור עם n צלעות, שאף שלושה מאלכסוניו אינם נחתכים בנקודה אחת (בתוך המצולע). התשובה היא C(n,4) (מקדם הבינום של n ו-4), מכיוון שלכל ארבעה קדקדים a,b,c,d, בהנחה שזה הסדר שלהם על המצולע, רק ac ו-bd הם אלכסונים שנחתכים בתוך המצולע.

 

[ל א ק י]

כן זה אמור להיות בתוך מצולע קמור../images/Emo122.gif

אממ מה זה C? [או מזה מקדם בינום?]

 

[pdib]

עריסטו, ../images/Emo26.gif

אתה כתבת וערכת? או שמצאת את זה איפשהו?

 

[עריסטו]

מצאתי את זה.