סדרה...

[עריסטו]

סדרה...

לסדרה הזו 4 1 3 1 2 4 3 2 יש תכונה מעניינת: כל אחד מהמספרים 1-4 מופיע פעמיים. בין שני המופעים של המספר 1 מפריד איבר אחד, בין שני המופעים של 2 מפרידים שני איברים, בין שני המופעים של 3 מפרידים שלושה איברים, ובין שני המופעים של 4 מפרידים ארבעה איברים.

האם ניתן לעשות אותו דבר אבל עם המספר 7 במקום 4? כלומר כל אחד מהמספרים 1-7 צריך להופיע פעמיים, כאשר בין שני המופעים של n מפרידים n איברים, לכל n בין 1 ל-7.

ומה עם 18 במקום 4?

האם ניתן לבנות סדרה בת 27 איברים, שבה כל אחד מהמספרים 1-9 יופיע שלוש פעמים, כך ש: בין המופע הראשון של 1 למופע השני של 1 יפריד איבר אחד, וגם בין המופע השני של 1 למופע השלישי של 1 יפריד איבר אחד. בין המופע הראשון של 2 למופע השני של 2 יפרידו שני איברים, וגם בין המופע השני של 2 למופע השלישי של 2 יפרידו שני איברים. בין המופע הראשון של 3 למופע השני של 3 יפרידו שלושה איברים, וגם בין המופע השני של 3 למופע השלישי של 3 יפרידו שלושה איברים. וכך הלאה עד 9...

 

[djdror]

פתרון חלקי

בטח צריכה לבוא פה איזה נוסחה שתתאים לכל מספר, אבל אני לא בדיוק הכתובת לנוסחה שכזאת, אך ככה לשעשוע ניסיתי לפתור את המספר 7, ונראה לי שיצא בסדר. אז בבקשה. 4 5 6 7 1 4 1 5 3 6 2 7 3 2

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif פתרון חלקי נכון

 

[1אברהם]

נסיון

לכל סידור של N מספרים ב 2*N מקומות כאשר כל סיפרה מופיעה פעמים סכום הרווחים בין 2כל ספרות זהות חיב להיות זוגי, הסבר: נתחלי מהסידור הטרוויאלי שכל זוג ספרות צמודות לדוגמה עבור N=4

11332244​

כל החלפה בין 2 ספרות שונות שמרחקם אחד מהשני הוא n תגדיל את הרווח בין זוג ספרות אחד ב n ותקטין את הרוח בין הזוג השני ב n או n-2 ולכן הסכום הכולל של הרווחים ישאר זוגי. עבור הסידור המיוחד שבחידה סכום הרווחים יהיה 3+2+1+....N כלומר zzz N*(N+1)/2 zzz הסכום הזה זוגי עבור N ששוה 3 4 7 8 11 12 15 16 19 20 כלומר רק עבור N כזה שמקים שהוא מיתחלק ב 4 או ש N+1 מתחלק ב 4 ולכן עבור N=18 לא ניתן לסדר את זה

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif+הוכחה אחרת (שימו לב-נשאר עוד שליש חידה)

לכל k בין 1 ל-n המספרים המסומנים k מופיעים במקומות p(k) zzz ו- p(k)+k+1. נחשב את סכום מיקומי הקלפים בשתי דרכים: מצד אחד הוא סכום המספרים בין 1 ל-2n כלומר n(2n+1) zzz, ומצד שני נסכם לפי k ונקבל שהוא

p(1)+p(1)+2+p(2)+p(2)+3+...+p+p+n+1=2[p(1)+p(2)+...+p]+n(n+3)/2​

נשווה את שני הביטויים ונקבל

n(2n+1)=2[p(1)+p(2)+...+p]+n(n+3)/2 p(1)+p(2)+...+p=n(3n-1)/4​

הביטוי באגף הימני חייב להיות שלם, אבל עבור n=18 הוא לא שלם, לכן לא ניתן לסדר 18 זוגות מספרים לפי הדרישה.

 

[עריסטו]

הקלפים = המספרים

 

[1אברהם]

לגבי החלק השלישי

זה אפשרי, הנה 1 9 1 6 1 8 2 5 7 2 6 9 2 5 8 4 7 6 3 5 4 9 3 8 7 4 3

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif