עוד שאלה שבטח כולכם יודעים את התשוב

[atheist22]

באופן כללי אבל

כפי שכתבתי בהודעה המקורית, יש אינסוף דרכים טובות להגדיר את פאי, והן כולן טובות באותה מידה. כפי שראינו, יש אבל גם דרכים פחות טובות, מן הבחינה שהן מכילות הנחות שרירותיות, כמו ההגדרה הגיאומטרית של סינוס. אם אבל מגדירים את פונקציית הסינוס אלגברית, אז ההגדרה ש-2pi זה היחס בין היקף המעגל במישור אוקלידי לרדיוסו טובה בדיוק באותה מידה כמו להגיד שזה אורך המחזור של סינוס. שתי ההנחות טובות באותה מידה בין השאר מכיוון שאפשר להראות שכל אחת גוררת את השניה.

 

[איגור קרסיק]

תגובה

בהגדרה הגיאומטרית של סינוס, אין הנחה שהמחזור שלו הוא 2 פאי, אלא יש הוכחה לדבר.

 

[לידול]

יש הבדל

המעגל זה משהו במציאות, בלי תלות בהגדרתנו. פונקציית הסינוס, לא קיימת איפה שאין בני אדם שהגדירו אותה. אנחנו הגדרנו את הפונקציה לנוחותנו.

 

[איגור קרסיק]

לא מסכים

המעגל כפי שהוגדר במתמטיקה לא בהכרח קיים במציאות. ולכן אף משפט של המתמטיקה לא בהכרח תקף במציאות!

 

[atheist22]

לא נכון!

למעגל יש תלות מאוד גדולה בהגדרה שלו. למעשה אין שום הכרח מתמטי שהיחס בין היקף המעגל לקוטר שלו יהיה פאי. למעשה זה יכול להיות כל יחס שהוא כתלות בהנחות שלך. יתרה מכך, בעולם האמיתי היחס בין היקף המעגל לקוטר שלו כלל אינו פאי. במקרים שאנחנו פוגשים בחיי היום-יום ההבדל הוא מאוד מאוד קטן, כך שאנחנו לא שמים לב, אבל ההבדל בהחלט קיים. אם תמדדי את הקוטר של כדור הארץ(כל זה בהנחה שכדור הארץ היה כדור מושלם) ותחשבי ממנו את שטח הפנים לפי 4pi*r^2 ואז תמדדי את שטח פני כדור הארץ האמיתי, תגלי שחסר לך שטח!

 

[פייד-ראותא]

כדו"א בכלל לא קרוב להיות...

כדור מושלם...הוא בכלל לא כדור. כך שהדוגמא לא שירתה את יעודה

פייד!

 

[atheist22]

לא קשור

הכוונה שלי הייתה: אם תקח כדור בגודלו של כדור הארץ עם מסה דומה ותעשה עליו את המדידות, תגלה שהשטח שאתה מחשב שונה מן השטח שאתה מודד כיוון שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו איננו בדיוק פאי בעולם האמיתי.

 

[פייד-ראותא]

רגע...אתה אומר ש...

שאם ניקח כל מעגל מושלם בעולם שלנו היחסים בו שהיו אמורים לתת את פיי יתנו מספר שונה? כי אם כן,זה ממש לא הגיוני.לפי זה פיי הוא מספר חסר חשיבות אמיתית מכיוון שהוא לא באמת מייצג את מה שהוא אמור לייצג. וחוץ מזה,כדור מושלם הוא כדור מושלם בין אם הוא על דף או בתור כדורגל במציאות...ברור שלכדור במציאות יש "קליפה עבה",אבל זה לא מה שישנה. בכל מקרה,זה או שלא הבנתי אותך או שמה שבעצם רצית לומר הוא שבעולם האמיתי אין כדורים אמיתיים ולכן היחסים המדוברים יכולים רק להתקרב לפיי ולא להגיע אליו באמת,וזה מובן מאליו. פייד!

 

[atheist22]

הסבר על גיאומטריות לא אוקלידיות

קודם כל, לפאי יש הרבה חשיבות. הוא מופיע בהמון מקומות במתמטיקה שאין להם שום קשר לגיאומטריה. החשיבות הגיאומטרית של פאי היא: לכל מעגל בגיאומטריה אוקלידית היחס בין ההיקף לקוטר הוא פאי. גיאומטריה אוקלידית היא הגיאומטריה שלמדנו בבית ספר. היא הראשונה שפותחה וללא ספק האינטואיטיבית ביותר לבני אדם. עם זאת, זו לא הגיאומטריה היחידה שעקבית מתמטית. למעשה יש אינסוף כאלה. אחת ההנחות שלה היא כי בהינתן ישר ונקודה ניתן להעביר רק ישר אחד דרך הנקודה שלא יחתוך את הישר הנתון. מסתבר שניתן לבנות גיאומטריה עקבית גם ללא הנחה זו. קיימות גיאומטריות שבהן לא ניתן להעביר אף ישר מקביל אחד דרך הנקודה(כמו גיאומטריה על פני כדור) וקיימות גיאומטריות, שבהן ניתן להעביר ישרים מקבילים רבים. בגיאומטריות אלה היחס בין היקף המעגל לקוטרו איננו פאי וסכום הזוויות במשולש איננו 180 מעלות. הסיבה שבגללה הגיאומטריה האוקלידית היא הגיאומטריה האינטואיטיבית לבני אדם היא כי היא נותנת קירוב מאוד מאוד טוב לסביבה שבה התפתחנו. פיזיקה מנסה לחקור את הדברים יותר לעומק ולמצוא תיאור מדוייק של העולם. תחילה ניסו לתאר את העולם בעזרת גיאומטריה אוקלידית וזה עבד די טוב. זה עבד טוב עד שמכשירי המדידה נעשו יותר מדוייקים ונעשו יותר ניסויים מעניינים. אז התחילו להתגלות סתירות. תנועת כוכבי הלכת לא תאמה לגמרי את חוקי ניוטון והאור התנהג שונה מאוד מאיך שציפו ממנו. בתחילת המאה העשרים זה הביא להתפתחות שתי תיאוריות מהפכניות: תורת היחסות ומכניקת הקוונטים. לפי תורת היחסות הכללית המרחבש שבו אנו חיים אינו אוקלידי. כל מסה מעקמת את המרחב סביבה. במקרה של כדור הארץ, כפי שכתבתי, כתוצאה מעיקום המרחב, הקוטר של כדור הארץ קטן בכמה סנטימטרים ממה שהוא היה במרחב אוקלידי עבור אותם פני השטח.

 

[atheist22]

הכוונה גדול בכמה סנטימטרים

כתבתי קטן בכמה סנטימטרים? הכוונה גדול בכמה סנטימטרים.

 

[פייד-ראותא]

אוקיי...

אני מכיר את התיאור של המרחב שנתת בכלליות... עלה בדעתי שעל זה דיברת אבל זה לא היה לי ברור. עכשיו הבנתי למה התכוונת קודם, תודה על ההשקעה! פייד!