עזרה באינטגרציה

[electricity of ice]

עזרה באינטגרציה

עקרונית, מקרה קלאסי של שדה חשמלי של תיל אינסופי.
אבל אני לא תופס את המעבר המתמטי שבאינטגרל (סימנתי בחץ כחול).
אגב, קורס שדות אלקטרומגנטים, הבעיה הובאה כדוגמא ונפתרה ע"י המרצה בקואורדינטות גליליות.

אשמח אם מישהו יוכל להפיל לי את האסימון, תודה!

 

[guprnds]

בקצרה:

האינטגראל הימני מידי היות והמונה הוא (כמעט) הנגזרת של המכנה. עם זאת יש טעות בסימן ואין rho\ במכנה. האינטגראל השמאלי כנראה לא נכון. הצב z=\rho\tan\theta ומכאן זה כמעט מיידי.

 

[electricity of ice]

או קיי... אז בעצם

איך אני ממשיך עם האינטגרל השמאלי? הבנתי את ההצבה, אבל זה אומר שאני צריך להחליף גבולות אינטגרציה גם?
אני ממש אודה לך אם תוכל להסביר לי איך ממשיכים את האינטגרל עם הטכניקה הזאת, זה נורא יעזור לי בקורס הזה בכלל.
וכמובן תודה רבה על התגובה!!

 

[guprnds]

קודם כל

בנוגע לאינטגרל הימני, כשכתבתי שהמונה הוא כמעט הנגזרת של המכנה התכוונתי "כמעט הנגזרת הפנימית של המכנה. כלאמר הנגזרת של z^2 היא 2z. בנוגע לאינטגרל השמאלי:
הצג z=\rho\tan\theta. אז dz=\rho d\theta/cos^2\theta. במונחים של המשתנה החדש הביטוי במכנה הוא zzz \rho^3/cos^3\theta. איך קיבלתי את זה? זה הגיע מהזהות zzz 1+\tan^2\theta=1/cos^2\theta
אם נעלה זאת בחזקה השלישית נקבל את מה שרשמתי. כאשר z הולך ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף zzz \theta הולכת ממינוס פאי-חצי לפלוס פאי-חצי. באינטגראנד אתה נשאר עם zzz d\theta/cos\theta (את הקבוע רו בשלישית הוצא מחוץ לסימן האינטגרל).
את האינטגראל של אחד חלקי קוסינוס טתא אפשר לפתור אנליטית (טיפ-טיפונת עבודה) או ללכת לטבלאות האינטגראלים. אם אתה רוצה לפתור אנליטית חזור לכאן ואגיד לך איזה הצבה לקחת.

 

[guprnds]

פספסתי את העריכה...

הרישום שלי היה טיפה רשלני: כמובן שאת הביטוי שהתקבל במכנה יש לקחת בחזקת 3/2 ואז מתקבל אחד חלקי קוסינוס טתא בשלישית. זה יצטמצם עם האחד חלקי קוסינוס בריבוע טתא שמגיע מהדיפרנציאל ובסופו של יום נשאר עם אינטגראנד שהוא אחד חלקי קוסינוס טתא. כמו כן rho מופיע בחזקה ראשונה גם במונה כך שמה שיוצא מחוץ לסימן האינטגראל הוא אחד חלקי rho בריבוע (ולא בשלישית כפי שרשמתי).

 

[guprnds]

אוי...

לגמרי ירדתי מהפסים (תרתי משמע). הקוסינוס תטא מופיע במונה, והאינטגרציה מיידית ונותנת שתיים...

 

[guprnds]

שאלת תם, הערה, ותיקון.

1) למה לא לפתור את הבעיה בדקה אחת עם חוק גאוס?
2) אתה משתמש כמעט באותו סימון לצפיפות המטען ולקואורדינטה הרדיאלית וזה מתכון לטעויות. נהוג לסמן צפיפות מטען קווית באות למבדה.
3) כשאני גוזר את הביטוי שטענתי שהוא כנראה טעות, אני מקבל שהוא נכון... לכן הטענה שלי בתגובה הראשונה היתה לא נכונה. שיטת הפיתרון שהצעתי לך טובה ואני משער שבסופו של דבר היא תוביל לפתרון הנכון. לדעתי מי שרשם את הפתרון על הדף פשוט לקח אותו מטבלאות האינטגרלים. אני לא רואה כרגע דרך פשוטה יותר לפתור את האינטגרל מזו שהצעתי לך.

 

[electricity of ice]

קודם כל תודה רבה על העזרה

הבנתי ובאמת הסתדרתי

ועכשיו...

1) כי אני נודניק שמרגיש שחייב להבין את הדרך, במיוחד בפיזיקה, ובמיוחד כשהדברים לא פשוטים

2) צודק, אמת (הרישום שצילמתי היה של המרצה)
3) הדרך מעולה, לקח לי קצת זמן אבל בסוף תפסתי

תודה!