עזרה בגבולות

[Blue Potion]

עזרה בגבולות

שלום,

אני לא מצליחה לפתור את 2 התרגילים האלה...
בכל פעם יוצאת לי תשובה אחרת.

אודה לכם אם תכתבו את הפתרון המלא (ולא רק הדרכה בסיסית).

תודה מראש!

 

[g1u2y32]

נסיון לעזרה - שאלה 6

אם אני מסתכל על הגבול בשאלה 6 אז אני חושב שהתשובה היא ה' - אף תשובה לא נכונה.
כאשר איקס שואף לאינסוף - או איקס הוא מספר מאוד גדול (מיליארד למשל) אז המספרים פלוס 1 ומינוס 2 במונה ובמכנה של השבר הופכים זניחים, ומקבלים למעשה מנה בין איקס לאיקס ששוונה לאחד. כלומר ככל שאיקס יגדל יותר - המנה עצמה תשאף להיות אחד - ואז למעשה לא משנה באיזו חזקה מעלים את המספר 1 - הוא תמיד יישאר אחד ולכן אף תשובה אינה נכונה.

 

[Blue Potion]

תודה לך!

מדובר באי ודאות של אוילר, ולכן זה 1 בחזקת אינסוף... יש לזה גבול מוגדר, הבעיה שלי הייתה למצוא אותו

תודה על העזרה!

 

[סוס כסוף]

למדתם לופיטל ? לגבי תרגיל 6 ראי בפנים

אני רוצה להגיע לגבול הבא
lim (X->∞) (1 + 1/X)^X = e

לצורך זה אני אשחק עם מה שיש בסוגריים כדי להגיע לצורה של השורה הקודמת
(X+1)/(X-2) = (X-2 + 3)/(X-2) = 1 + 3/(X-2) = 1 + 1/[(X-2)/3]

עכשיו אני מסמן משתנה חדש

u = (X-2)/3 ----> X = 3U+2

אז החזקה המקורית הופכת ל

2X-1 = 2(3U+2) - 1 = 6U+3

ברור שכאשר איקס שואף לאינסוף, גם יו שואף לאינסוף. אז התרגיל שלי הופך ל

lim(U->∞) (1+1/U) ^(6U+3)

אבל כדי שאוכל להשתמש בגבול הידוע אני צריך שהחזקה תהיה יו ולא שישה יו פלוס שלוש. אז אני אכפיל ואחלק את המעריך ב יו

Maarich = (6U+3)*U / U = U * [(6U+3)/U)]

עכשיו מכפלה של מעריכים שווה להעלאת חזקה בחזקה. אז הגבול שלי הופך ל

lim(U->∞) [(1+1/U) ^U] ^[(6U+3)/U] = lim (U->∞) e ^[(6U+3)/U]

כאשר יו שואף לאינסוף, המעריך שואף ל שש, לכן

= e^6

אז הגבול שואף ל e^6 ובאמת אף תשובה לא נכונה.

 

[Blue Potion]

תודה רבה

משום מה הסתבכתי בגבול של החזקה. עזרת לי מאוד!

 

[סוס כסוף]

מה עם לופיטל, למדתם או לא ?

ואם לא, האם את יודעת איך פותרים את 5 ? כי אני לא יודע בלי לופיטל.

 

[Blue Potion]

אני לא יודעת מה זה לופיטל,

אבל כנראה שלמדנו כי השיטה מוכרת לי
&nbsp
למדנו דרכים לפתור גבולות ע"י כל מיני שיטות ונוסחאות מוכרות, אינסוף חלקי אינסוף, אפס חלקי אפס, אחד בחזקת אינסוף וכו'

 

[סוס כסוף]

שיטת לופיטל מחשבת את הנגזרת של המונה ואת הנגזרת של המכנה

ומחפשת את הגבול של המנה. האם מוכר לך?

ואיפה את לומדת / מאיפה התרגילים האלה ?

 

[Blue Potion]

התחלנו ללמוד על זה,

אבל התרגילים האלה הם לא מהנושא הזה, אלא ניתנו לנו כשלמדנו גבולות.
אני לומדת לתואר ראשון בכלכלה, אלה שאלות מקורס חדוא א'

 

[סוס כסוף]

שאלתי בשבילך בפורום מתמטיקה וגם שם לא מצאו פתרון ללא לופיטל.

אם ייתנו לכם פתרונות, אנא ספרי גם לי איך פתרו את התרגיל הזה.

 

[Blue Potion]

נתנו לנו פשוט את הנוסחא של אוילר

ואמרו "תשתמשו בזה".

 

[סוס כסוף]

על איזו נוסחה של אוילר מדובר ? את יכולה להעלות אותה ?

 

[Blue Potion]

 

[סוס כסוף]

טוב, בזה השתמשתי כבר בתרגיל 6. אבל זה לא עוזר ל 5

איך אמרו לכם לפתור את 5

 

[Blue Potion]

כדי לפתור אי ודאות 0/0 נתנו לנו כל מיני שיטות,

אחת מהן זה להשתמש בגבולות מפורסמים...
חילקתי גם את המונה וגם את המכנה ב-2X, ובכל אחד מהם השתמשתי בגבול מפורסם אחר...