צפרדעים מקפצות

[עריסטו]

ארבע צפרדעים נמצאות בקדקודי ריבוע. בכל צעד צפרדע אחת קופצת מעל צפרדע אחרת ונוחתת באותו מרחק מהעבר השני (כלומר אם צפרדע בנקודה X קפצה מעל צפרדע בנקודה Y ונחתה בנקודה Z, אז Y היא אמצע הקטע XZ). אחרי מספר כלשהו של קפיצות כאלה הצפרדעים נמצאות שוב בקדקודי ריבוע. הוכיחו: הריבוע החדש לא יכול להיות גדול יותר מהריבוע המקורי.

 

[Lucifer LightBringer]

זה פשוט הזזה של סריג מלא בריבועים.
במצב מוצק קוראאים לזה Bravais lattics ובמתמטיקה טהורה זה Fundamental domain.

זה נכון גם עבור מעויין.

 

[Lucifer LightBringer]

לזה קוראים פתרון בימינו? הילדים של היום...

למה? עדיף להשתמש בכלי של חוקר מדופלם עם PHD ולומר:

זה קל להוכיח, נשאיר כתרגיל לקורא.

שזה למעשה מה שעשיתי...

 

[עריסטו]

לזה קוראים פתרון בימינו? הילדים של היום...

 

[הפרבולה1]

נסתכל על המישור כמרוצף בריבועים (סריג ריבועי) כאשר 4 הצפרדעים יושבים על קודקודי ריבוע בסיסי ( המינימלי) כמו בציור ( הנקודות האדומות זה המצב ההתחלתי של הצפרדעים )
טענה ( קל להוכיח...) - בכל קפיצה צפרדע נותחת על קודקוד של הסריג (נקודת חיתוך של קו אנכי ואופקי ) , ולכן אם אחרי סידרת צעדים הצפרדעים יושבים על ריבוע גדול יותר אז קודקודיו יהיו על קודקודי הסריג , ואורך צלע הריבוע החדש תהיה כפולה שלמה גדולה מ 1 מאורך הצלע של הריבוע ההתחלתי.

כעת אפשר לעשות סידרת צעדים הפוכה בדיוק ולהגיע שוב לריבוע ההתחלתי הקטן יותר , ואם נעשה את אותה סידרת צעדים הפוכה אבל הפעם מתחילים מהריבוע ההתחלתי אמורים להגיע לריבוע קטן יותר פי כפולה שלמה , אבל אז לפחות 3 צפרדעים לא ישבו על קודקודי הסריג בסתירה לכך שבכל קפיצה הצפרדע חייבת לנחות על קודקוד של סריג.

 

[עריסטו]

נסתכל על המישור כמרוצף בריבועים (סריג ריבועי) כאשר 4 הצפרדעים יושבים על קודקודי ריבוע בסיסי ( המינימלי) כמו בציור ( הנקודות האדומות זה המצב ההתחלתי של הצפרדעים )
טענה ( קל להוכיח...) - בכל קפיצה צפרדע נותחת על קודקוד של הסריג (נקודת חיתוך של קו אנכי ואופקי ) , ולכן אם אחרי סידרת צעדים הצפרדעים יושבים על ריבוע גדול יותר אז קודקודיו יהיו על קודקודי הסריג , ואורך צלע הריבוע החדש תהיה כפולה שלמה גדולה מ 1 מאורך הצלע של הריבוע ההתחלתי.

כעת אפשר לעשות סידרת צעדים הפוכה בדיוק ולהגיע שוב לריבוע ההתחלתי הקטן יותר , ואם נעשה את אותה סידרת צעדים הפוכה אבל הפעם מתחילים מהריבוע ההתחלתי אמורים להגיע לריבוע קטן יותר פי כפולה שלמה , אבל אז לפחות 3 צפרדעים לא ישבו על קודקודי הסריג בסתירה לכך שבכל קפיצה הצפרדע חייבת לנחות על קודקוד של סריג.

צפה בקובץ המצורף 122111

נכון, רק לא ברור לי למה אורך צלע הריבוע הגדול הוא כפולה שלמה של אורך צלע הריבוע המקורי. לא ברור לי למה זה נכון ובכל מקרה זה לא דרוש עבור ההוכחה. גם אין צורך בעובדה שקדקודי הריבוע הגדול יהיו על הסריג. הפתרון לחידה הוא פשוט זה - אם הצפרדעים יכולות להגיע לריבוע גדול יותר, ניתן להפוך את סדר הקפיצות וגם את כיוון הקפיצות ומתקבלת סדרת קפיצות חוקית שמביאה את הצפרדעים לריבוע קטן יותר, וזה בלתי אפשרי כי הצפרדעים נמצאות תמיד על קדקודי הסריג.

 

[הפרבולה1]

נכון, רק לא ברור לי למה אורך צלע הריבוע הגדול הוא כפולה שלמה של אורך צלע הריבוע המקורי.

זה רק בהנחה שהצלחנו להגיע לריבוע גדול יותר, ומכיוון שקודקודיו אמורים להיות על קודקודי הסריג נובע מזה שאורך צלעו יהיה כפולה שלמה של צלע הריבוע המקורי.

ואז אפשר לדלל את את הסריג כך שהריבוע הבסיסי יהיה הריבוע הגדול , וכעת אם נהפוך את סדר הקפיצות וכיוונם אנחנו אמורים להגיע לריבוע המקורי אבל בכל קפיצה הצפרדעים הם על קודקודי הסריג החדש המדולל , והריבוע המקורי קודקודיו כבר לא נמצאים על הסריג החדש המדולל.

 

[עריסטו]

זה רק בהנחה שהצלחנו להגיע לריבוע גדול יותר, ומכיוון שקודקודיו אמורים להיות על קודקודי הסריג נובע מזה שאורך צלעו יהיה כפולה שלמה של צלע הריבוע המקורי.

ואז אפשר לדלל את את הסריג כך שהריבוע הבסיסי יהיה הריבוע הגדול , וכעת אם נהפוך את סדר הקפיצות וכיוונם אנחנו אמורים להגיע לריבוע המקורי אבל בכל קפיצה הצפרדעים הם על קודקודי הסריג החדש המדולל , והריבוע המקורי קודקודיו כבר לא נמצאים על הסריג החדש המדולל.

עדיין לא הבנתי למה אורך צלעו הוא כפולה של האורך המקורי. יש ריבועים שקדקודיהם על הסריג ואורך צלעם אינו כפולה של אורך הצלע המקורי.
וכמו שאמרתי קודם, אין צורך בשום שלב בהמשך ההוכחה בטענה שאורך הצלע החדש הוא כפולה של האורך המקורי. מספיקה העובדה שהאורך החדש גדול מהאורך המקורי.

 

[הפרבולה1]

עדיין לא הבנתי למה אורך צלעו הוא כפולה של האורך המקורי. יש ריבועים שקדקודיהם על הסריג ואורך צלעם אינו כפולה של אורך הצלע המקורי.
וכמו שאמרתי קודם, אין צורך בשום שלב בהמשך ההוכחה בטענה שאורך הצלע החדש הוא כפולה של האורך המקורי. מספיקה העובדה שהאורך החדש גדול מהאורך המקורי.

אתה צודק , הריבוע החדש לא חייב להיות מקביל לסריג.

 

[פולגאר]

נסתכל על המישור כמרוצף בריבועים (סריג ריבועי) כאשר 4 הצפרדעים יושבים על קודקודי ריבוע בסיסי ( המינימלי) כמו בציור ( הנקודות האדומות זה המצב ההתחלתי של הצפרדעים )
טענה ( קל להוכיח...) - בכל קפיצה צפרדע נותחת על קודקוד של הסריג (נקודת חיתוך של קו אנכי ואופקי ) , ולכן אם אחרי סידרת צעדים הצפרדעים יושבים על ריבוע גדול יותר אז קודקודיו יהיו על קודקודי הסריג , ואורך צלע הריבוע החדש תהיה כפולה שלמה גדולה מ 1 מאורך הצלע של הריבוע ההתחלתי.

כעת אפשר לעשות סידרת צעדים הפוכה בדיוק ולהגיע שוב לריבוע ההתחלתי הקטן יותר , ואם נעשה את אותה סידרת צעדים הפוכה אבל הפעם מתחילים מהריבוע ההתחלתי אמורים להגיע לריבוע קטן יותר פי כפולה שלמה , אבל אז לפחות 3 צפרדעים לא ישבו על קודקודי הסריג בסתירה לכך שבכל קפיצה הצפרדע חייבת לנחות על קודקוד של סריג.

צפה בקובץ המצורף 122111

זה נכון רק אם מותר גם לקפוץ באלכסון, כי למשל אם תיקח את הצפרדע הימני התחתון ותקפיץ אותו למעלה, הוא יהיה עכשיו העליון הכי ימני, כעת תיקח את הצפרדע העליונה השמאלית ותקפיץ אותה ימינה והיא תהיה עכשיו הכי שמאלית ומה שנשאר לך זה להקפיץ באלכסון את הצפרדע השמאלית התחתונה וקיבלת את אותו ריבוע.
כל פעם ב-3 צעדים מתקדמים באלכסון בדומה לרץ בשחמט, רק שכאן זה מסע אחד.