שאלה (אמיתית!) ראשונה...

[IMLost]

שאלה (אמיתית!) ראשונה...

טוב זה יותר כמו חידה זה במכניקה נתון v(t)=x(t) ZZZ כלומר עבור כל t שנציב בפונקצית v יהיה שווה לאותו x שנציב בפוקנצית t. מצא (עד כדי קבוע) את פונקצית המסלול x. (רמז:מד"ר)

 

[yoyo0w24]

פתרון

בגלל שהמהירות היא נגזרת של הדרך לפי זמן אפשר להגיד ש-y=x y'=v ואז אנו מקבלים משווה דיפרנציאלית הומוגנית: y=y' הפתרון למד"ר זה הואy=c*e^(x. מקווה שעזרתי.^^

 

[IMLost]

לא בשבילי..זאת הייתה חידה

מאוד קלילה עכשיו לחידה המתקדמת אותה שאלה רק x(t)=a(t) ZZZ הערה:אין להשתמש באיזו נוסחה לפתירת מד"ר סדר 2. בהצלחה

 

[IMLost]

הבהרה:a זאת התאוצה

וצריך למצוא את משוואת המסלול x(t) ZZZ

 

[yoyo0w24]

פתרון ב

כמו מקודם: y=x y''=a y=y'' y''-y=0 עכשיו מגדירים d/dx כ-D ואז זה =(D+1)(D-1) כפול y 0 ואז אומרים (D+1) כפול y שווה u כלומר(מהצבה) u'-u=0 כמו מקודם ואז יודעים מה u ואז מציבים אותו ויש לנו מד"ר מסדר ראשון (שאין לי כוח לעשות)

 

[IMLost]

יפה

אבל יש לי פתרון אחר נסמן y=x =< y''=a y''=y y''-y=0 y''-y'+y'-y=0 y'-y=u y''-y'=u' גורר u+u'=0 ואז מגיעים u=c1*e^-x וחוזרים להצבה y'-y=u y'-y=c1*e^-x וזאת משוואה מסדר ראשון..בלה בלה בלה.

 

[yoyo0w24]

יפה!!!

יפה! אני אוהב את הטריקים האלה של להוסיף ולחסר משהו כי זה יכול פשוט להכנס בכול מקום. ממש יפה^^

 

[Fingertip]

יש פתרון יותר קצר לבעיה הזאת...

אם עליתם על ה"טריק". המשוואה:

y'' = y​

קל לראות שהפונקציות שמקיימות זאת הן:

cosh x, sinh x​

כמו-כן, אלו פונקציות בלתי-תלויות לינארית, ולכן הפתרון הכללי נתון על ידי:

y = C1cosh x + C2sinh x​

אהד.

 

[Fingertip]

ועוד דרך...

נפתור את המשוואה המתאימה:

t² = 1 t = ±1​

ולכן שני פתרונות בלתי-תלויים הם:

e^x, e^-x​

ולכן הפתרון הכללי הוא:

y = C1e^x + C2e^-x​

קל לראות שזה שקול לפתרון הכללי שמצאנו קודם. אבל אלו סתם בעיות (פשוטות) במד"ר, אני לא רואה מה מיוחד בהן כל-כך. הנה בעיה יותר "מסובכת", שקראתי באחד הספרים בקורס בפיסיקה שלקחתי בקיץ ועוד לא הצלחתי לפתור אותה כמו שצריך: הראו שאם על חלקיק פועל כוח קבוע בניצב לכיוון תנועתו אזי החלקיק נע במעגל. אהד.

 

[yoyo0w24]

פתרון ג

זה די ההגדרה של תנועה מעגלית^^. אתה בעיקרון רוצה להראות מהי פונ המיקום של החלקיק שזה: x(t)=r*sin(t/T*2pi) zzz y(t)=r*cos(t/T*2pi) zzz עכשיו זה די קל, פשוט לוקחים את המכפלה הסקלרית, המכפלה הוקטורית והחוק שהתאוצה היא נגזרת לפי זמן של המהירות ומגיעים לפתרון. הייתי עושה את זה אבל אין לי איך לכתוב את זה בצורה מובנת כאן.מחוץ מזה אתה צריך להגיע משם לפתרון די בקלות (אם אתה אוהב שלוש משוואות בשלושה נעלמים ^^) מקווה שעזרתי.

 

[khaydarin]

הוכחה אפשרית

לכל אורך ההוכחה, אותיות מודגשות מסמנות וקטורים. הנתון היחיד שברשותנו הוא שהכח הקבוע F הפועל על החלקיק ניצב למהירות v החלקיק -

F•v = 0​

נתחיל מהנגזרת של האנרגיה הקינטית -

dEk/dt = d(0.5mv²)/dt = d(0.5mv•v)/dt = mv•dv/dt = v•(ma) = v•F = 0​

קיבלנו שהאנרגיה הקינטית של החלקיק לא משתנה עם הזמן. ניתן להסיק מכך שכאשר המסה של החלקיק קבועה, רק הכיוון של וקטור המהירות משתנה עם הזמן. נסמן את הזווית בתור פונקציה נעלמת (g(t. כעת, אם נסמן את הוקטורים על מערכת צירים קרטזית (לשם פשוטת, ניקח אחת שראשיתה בנק' שבה החלקיק נמצא) נוכל לרשום את וקטור הכוח והמהירות כך -

F = F•cos(g(t))x + F•sin(g(t))y v = v•cos(g(t) + 90º)x + v•sin(g(t) + 90º)y = -v•sin(g(t))x + v•cos(g(t))y​

את תאוצת החלקיק נקבל ע"י גזירת המהירות, תוך שימוש בכלל גזירת פונקציה מורכבת -

a = -v•g'(t)•cos(g(t))x - v•g'(t)•sin(g(t))y​

ונציב הכל לחוק הראשון של ניוטון -

F=ma F•cos(g(t))x + F•sin(g(t))y = -v•m•g'(t)•cos(g(t))x - v•m•g'(t)•sin(g(t))y​

ע"י השוואת מקדמים נקבל משוואה אחת -

F = -m•v•g'(t) g'(t) = F/(-m•v)​

נסמן (ω = F/(-m•v ונקבל g(t) = ωt. נציב למהירות החלקיק -

v = -v•sin(ωt)x + v•cos(ωt)y​

בעזרת אינטגרציה נוספת נקבל שמיקום החלקיק מתאר תנועה מעגלית.

 

[אלמוני היחידה]

עבור סטודנט לפיזיקה זה כמו 1+1.