שאלה באלגברה לינארית

[genya96]

שאלה באלגברה לינארית

אהלן חברים.
אשמח לעזרה מכם..
פולינום ממעלה n יהיה בעל n שורשים, הלא כן?
אוקיי, אם יש לי פולינום ממעלה 0, נאמר p(x)=3, אז למעשה אין לו שורשים, לא ככה?
האם במצב שp(x)=0, לפולינום יש אינסוף פתרונות (0=0), או שעדיין ההגדרה היא שאין לו פתרונות?

 

[ןן גיל ןן]

הטענה המדויקת היא:

לפולינום ממעלה n, שאינו פולינום האפס, יש לכל היותר n שורשים.

 

[genya96]

אבל..

אני הבנתי משהו אחר. על פי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום ממעלה n, יהיו תמיד n שורשים. לא צויין הביטוי "לכל היותר".
בכל אופן, האם לפולינום 0=0 יש אכן אינסוף פתרונות?

 

[white shadow 3]

המשפט אומר שלכל פולינום ממעלה N

יש בדיוק N שורשים במספרים מרוכבים, כאשר N כולל בתוכו גם ריבויים..
&nbsp
כלומר יכול להיות שלמשוואה ממעלה 4,לדוגמא, יהיו רק שלושה שורשים ממשיים, כאשר אחד מהם מריבוי 2 ולכן סה"כ יש 4 שורשים.

 

[ןן גיל ןן]

הסבר

תלוי בהקשר, כלומר מעל איזה שדה הפולינום מוגדר, ובאיזה שדה מחפשים את השורשים.

המשפט היסודי של האלגברה אומר שלפולינום ממעלה n עם מקדמים מרוכבים יש n שורשים מרוכבים כאשר סופרים אותם יחד עם הריבוי שלהם. במילים אחרות- שפולינום כנ"ל מתפרק למכפלה של n ביטויים ליניאריים. (אם תתבונן למשל בפולינום x^4 יש לו רק שורש אחד, x=0, אבל השורש הזה בעל ריבוי 4).

לגבי פולינום האפס, כן, יש לו אינסוף שורשים.

 

[genya96]

נכון אבל..

ברור, התכוונתי גם לריבוי. לכל פולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים שונים, אך באופן כללי יש לפולינום n שורשים כולל ריבוי.
בכל אופן, אני פותר תרגיל בו התבקשתי לספק מקדמים לפולינום כך שלפולינום יהיו אין סוף שורשים.
הפולינום נראה כך:
x^2[]+[]x+[] כאשר בתוך הסוגריים המרובעים אני נדרש לספק מקדמים אשר יאפשרו קיומו של פולינום מאין זה.
חשבתי שלשבץ 0 לכלל המקדמים יספק את הפתרון, אך משום מה זה הוא לא הפתרון הנכון, האם למישהו יש רעיון אחר?

 

[white shadow 3]

תגובה

zz fx = 0x^2+0x+0 zz
לא מתקבל כתשובה לפולינום עם אינסוף שורשים?

 

[genya96]

זה מה שניסיתי לעשות

אבל המערכת מזהה את התשובה כלא נכונה. אני לא מבין למה.. (לא הבנתי את פשרם של ה"זדים" שהוספת)..

 

[genya96]

סליחה

זה בסדר, הייתה טעות במערכת. הצלחתי את השאלה, והתשובה שצויינה הייתה הנכונה.
בכל אופן, רק לוודא משהו-הייתה לי שאלה דומה בנוגע לאינסוף שורשים רק שהשאלה נשאלה על פולינום ממעלה 0. לא קיים פולינום ממעלה זו שעבורו יתקבלו אין סוף שורשים, משום שלמעשה אין X להציב בתוכו שורשים, לא ככה?

 

[white shadow 3]

תשובות

לגבי ה-zz
זה סתם סימון שגורם לטקסט להתיישר בצורה קריאה באנגלית..תתעלם ממנו
&nbsp
לגבי השאלה השניה - זה בדיוק הנושא שנדון כמה פוסטים מתחת...
השאלה היא האם y=0 יכול להיחשב גם כפולינום קבוע כמו y=2 ואז הוא ממעלה 0 ללא שורשים, אבל לפי ההגדרה שהבנתי פולינום 0 מוגדר לאינסוף שורשים לכן התשובה כנראה אמורה להיות שלא קיים פולינום כזה..
&nbsp

 

[genya96]

על פי הטכניון

אני סטודנט בטכניון, ועל פי הפקולטה למתמטיקה, פולינום ממעלה 0 לא יכול להיות עם אינסוף שורשים (כמו שכבר ציינתי, כנראה שהדבר נובע מכך שלמעשה אין X להציב בו שורשים, לכן בעצם אין לפולינום ממעלה 0 שורשים כלל).

 

[white shadow 3]

לסיכום

פולינום ממעלה 0 הוא פולינום ללא שורשים כלל
פולינום ממעלה 1 הוא פולינום בעל שורש אחד בלבד
...
...
...
פולינום ה- 0 נחשב ממעלה מינוס אינסוף ויש לו אינסוף שורשים.
&nbsp
&nbsp

 

[אורי769]

הערה

המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המרוכבים הוא סגור אלגברית. כלומר, שלפולינום (שאינו קבוע) מעל המרוכבים יש שורש מרוכב. זה הכל. הוא לא מדבר על כמה שורשים יש לפולינום.

יש טענה אלגברית אחרת האומרת שלפולינום ממעלה n מעל שדה F כלשהו, יש לכל היותר n שורשים ב-F.