שאלה בגרביטציה

[kaka6]

שאלה בגרביטציה

מדוע הביטוי GMm\r- מבטא את האנרגיה האגורה במערכת של גופים m ו M ולא את האנרגיה האגורה בכל אחד מהגופים בנפרד? כלומר הייתי מצפה ש GMm/r- יבטא הן את האנרגיה הפוטנציאלית האגורה בגוף m והן את האנרגיה הפוטנציאלית האגורה בגוף M. אנא, הסבירו לי מדוע טענה זו לא נכונה. אני חושב על הסוגייה הזו שעות רבות ולא מוצא לה פתרון.

 

[אחמס1]

ההסבר הוא כדלקמן

לגוף נקודתי אין אנרגיה פוטנציאלית כבידתית משלו, כלומר לא אגורה בו שום אנרגיה (חוץ מאנרגית המסה, אבל נעזוב את זה כי מדברים על כבידה ניוטונית). לשני גופים נקודתיים במנוחה, שהמרחק ביניהם כל כך גדול כך שאין ביניהם כלל אינטראקציה, גם כן האנרגיה היא אפס. עם זאת, אם נשים שני גופים במרחק גדול מאוד (כך שהאנרגיה שלהם היא אפס) אבל ניתן להם להתקרב אחד לשני, כאשר המרחק ביניהם יהיה r, תהיה להם כבר מהירות כלשהי, כלומר לכל אחד תהיה אנרגיה קינטית. אבל מצד שני רוצים לשמור את האנרגיה, כלומר האנרגיה הקינטית של הראשון + האנרגיה הקינטית של השני + איזושהי אנרגית אינטראקציה = (דורשים שזה יהיה) אפס (כמו שהיה בהתחלה). ורואים שאכן בשביל שזה יתקיים איבר האינטראקציה, שקראו לו "האנרגיה הפוטנציאלית" צריך להיות -GMm/r² (מינוס).

 

[kaka6]

אבל

כאשר שני הגופים מתקרבים אחד אל השני הם מבצעים אחד על השני עבודה. העבודה של שקול הכוחות המשמרים שפועלים על גוף מסויים שווה לאנרגיה הפוטנציאלית ההתחלתית של הגוף פחות האנרגיה הפוטנציאלית הסופית של הגוף. זוהי ההגדרה הבסיסית ביותר של אנרגיה פוטנציאלית של גוף מסויים והיא כתובה בכל הספרים. על הסמך ההגדרה הזו אני מסיק (כנראה מסיק לא נכון) ששני הגופים בנפרד צוברים אנרגיה פוטנציאלית כאשר הם מתרחקים אחד מהשני. אני מבין שדרושה אנרגיית אינטראקציה. מה שאני לא מבין הוא: מדוע האנרגיה הזו שווה ל-GMm/r (מינוס). אני צריך הסבר לגבי החישוב.

 

[עריסטו]

תחשוב על אנרגיה פוטנציאלית

הנוסחה הרגילה לאנרגיה פוטנציאלית היא mgh. איך מגיעים לנוסחה הזו? זו העבודה הדרושה להבאת הגוף מגובה 0 לגובה h. היא מתקבלת לפי הנוסחה עבודה=כוח*דרך: הכוח הוא משקלו של הגוף, mg, והדרך היא h. למה מחשבים דווקא את העבודה הדרושה להבאת הגוף מגובה 0 לגובה h, ולא, למשל, את העבודה הדרושה להבאת הגוף מגובה 2 מ' לגובה h? פשוט כי זה יותר נוח. אין שום דבר מיוחד בגובה 0; היה ניתן לבחור כל גובה אחר כנקודת ייחוס. אותו דבר לגבי שני הגופים. במקרה הזה נוח לקבוע את r=אינסוף כנקודת ייחוס. מה העבודה הדרושה להבאת הגופים ממרחק r למרחק אינסופי? נחשב: אם המרחק בין הגופים הוא x, ואנו מרחיקים אותם זה מזה מעט ומביאים אותם למרחק x+dx (כאן dx מציין מספר חיובי קטן), אזי הדרך היא dx, והכוח הוא GMm/x^2. לכן העבודה בקטע הקטן הזה היא GMm/x^2*dx. סך כל העבודה הנדרשת כדי להרחיק ממרחק r למרחק אינסוף היא האינטגרל של GMm/x^2*dx מ - r עד אינסוף. זה יוצא GMm/r. לכן העבודה הדרושה להבאת הגופים ממרחק אינסוף למרחק r היא GMm/r- (עבודה שלילית - הגופים המתקרבים זה לזה יכולים לבצע עבודה, במקום שנשקיע עבודה בהרחקתם זה מזה). שוב ניתן להשוות זאת לגוף שנופל מגובה h: אם היינו קובעים את הגובה h כנקודת ייחוס, אז האנרגיה הפוטנציאלית של גוף בגובה 0 הייתה mgh-. למה שכתבת "לכל גוף בנפרד יש אנרגיה" אין משמעות, כי האנרגיה נובעת מכך שהגופים נמצאים במרחק מסויים זה מזה, כמו שמובן מהחישוב לעיל. האנרגיה היא של מערכת שני הגופים יחד, ולא של כל גוף בנפרד.

 

[kaka6]

תודה! הסבר ממצה ומובן

יחד עם זאת יש לי מספר שאלות/הערות: 1) אתה אמרת שכאשר מעלים גוף מגובה 0 לגובה H הכוח הוא משקלו של הגוף mg. איך הגעת למסקנה הזו? 2)אני בטוח שאתה מכיר את הנוסחה U1-U2=W כאשר העבודה היא עבודת שקול הכוחות המשמרים. אם בגוף לא יכולה להיות אגורה אנרגיה פוטנציאלית כבידתית מה היא המשמעות של הנוסחא הזו אם כן... האם לא מדובר על (מינוס) הפרש האנרגיה הפוטנציאלית האגורה *בגוף מסוים*? 3)האם גם למטען חשמלי בודד אין אנרגיה פוטנציאלית חשמלית, אלא רק למערכת של מטענים חשמליים? שוב תודה.

 

[niv1990]

שאלה נוספת

במקרה כזה, או כל מקרה אחר של כוח פוטנציאלי: אם יש שקילות אנרגיה-מסה, אז האם האנרגיה הפונטציאלית עצמה יכולה להשרות גרוויטציה? (ובמקרה כזה "היכן" המסה שלה מרוכזת). אני יודע שאני אולי קצת מערבב פה... תודה. נ"ב: קיבלת את המסר בקשר לתיאור פרקטל על ידי מחרוזת (שלחתי אותו כבר לפי זמן מה, אני יכול לשלוח שוב)?

 

[אמִיר]

כן

כדי לטפל במקרה הכללי של פילוג אנרגיה/מסה/תנע כלשהו אבל צריך להשתמש בתורת היחסות הכללית (שזה הרבה-הרבה-הרבה יותר מסובך מGmM/r^2).

 

[niv1990]

תודה